8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Сложность:
Дата экзамена: 2023
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2023 год




  1. Упростите выражение:
    а) \( \dfrac{3x + 2}{6} + \dfrac{x - 2}{5} - \dfrac{x - 2}{3} \); б) \( (3m^3 n^2)^3 \cdot (-m^7 n)^2 \);
    в) \( (5x + y)(y - 5x) - (3x - y)^2 + (30x - 6y)(x + 1) \)

  2. Решите задачу:
    Моторная лодка шла по течению реки 5 часов, после чего развернулась и продолжила движение против течения ещё 3 часа. Расстояние, пройденное лодкой против течения, на 36 км меньше, чем расстояние, пройденное по течению. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.

  3. Постройте график функции \( y = -2x + 0{,}5 \).
    а) Проходит ли этот график через точку \( M(-40; -79{,}5) \)?
    б) Найдите точки пересечения графика с координатными осями.

  4. Упростите: \[ \left( \dfrac{a + b}{2} \right)^2 - \dfrac{a^2 - b^2}{4} - \dfrac{2a}{2} \]

  5. Решите систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 4x + y = 7 \end{cases} \]

  6. Разложите на множители:
    а) \( a^2 - 12a + 36 \); б) \( x^3 - 5x^2 - 16x + 80 \)

  7. При пересечении двух прямых отношение двух из образовавшихся углов равно 5 : 4. Найдите меры всех неразвёрнутых углов при пересечении этих прямых.

  8. Отрезок \( BD \) — биссектриса равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( AC \). На сторонах \( AB \) и \( BC \) отмечены соответственно точки \( M \) и \( N \), так что \( \angle MDA = \angle NDC \). Докажите, что \( MA = NC \).

  9. На сторонах \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \) отмечены соответственно точки \( M \) и \( N \), так что \( \angle CBA = \angle AMN \). Найдите градусную меру угла \( \angle MNC \), если \( \angle ACB = 70^\circ \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Упростите выражение: \( \dfrac{3x + 2}{6} + \dfrac{x - 2}{5} - \dfrac{x - 2}{3} \)
      Решение:
      Приведем дроби к общему знаменателю 30:
      \(\dfrac{5(3x + 2) + 6(x - 2) - 10(x - 2)}{30} = \dfrac{15x + 10 + 6x - 12 - 10x + 20}{30} = \dfrac{11x + 18}{30}\)
      Ответ: \(\dfrac{11x + 18}{30}\).

    2. Упростите выражение: \( (3m^3 n^2)^3 \cdot (-m^7 n)^2 \)
      Решение:
      Возведем в степени и перемножим:
      \(27m^9n^6 \cdot m^{14}n^2 = 27m^{23}n^8\)
      Ответ: \(27m^{23}n^8\).

    3. Упростите выражение: \( (5x + y)(y - 5x) - (3x - y)^2 + (30x - 6y)(x + 1) \)
      Решение:
      Раскроем произведения:
      \(y^2 - 25x^2 - (9x^2 - 6xy + y^2) + 30x^2 + 30x - 6xy - 6y = -4x^2 + 30x - 6y\)
      Ответ: \(-4x^2 + 30x - 6y\).


  2. Решите задачу:
    Моторная лодка шла по течению реки 5 часов, после чего развернулась и продолжила движение против течения ещё 3 часа. Расстояние, пройденное лодкой против течения, на 36 км меньше, чем расстояние, пройденное по течению. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.
    Решение:
    Пусть \(v\) — скорость течения. Тогда:
    \(5(10 + v) - 3(10 - v) = 36\)
    \(50 + 5v - 30 + 3v = 36\)
    \(8v + 20 = 36 \quad \Rightarrow \quad v = 2\)
    Ответ: 2 км/ч.

  3. Постройте график функции \( y = -2x + 0{,}5 \).
    1. Проходит ли график через точку \( M(-40; -79{,}5) \)?
      Решение:
      Подставим \(x = -40\): \(y = -2(-40) + 0{,}5 = 80{,}5 \neq -79{,}5\)
      Ответ: Нет.

    2. Найдите точки пересечения с осями:
      С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = 0{,}5\) → \((0; 0{,}5)\)
      С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(-2x + 0{,}5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0{,}25\) → \((0{,}25; 0)\)
      Ответ: \((0; 0{,}5)\), \((0{,}25; 0)\).


  4. Упростите: \[ \left( \dfrac{a + b}{2} \right)^2 - \dfrac{a^2 - b^2}{4} - \dfrac{2a}{2} \] Решение:
    Раскроем квадрат и упростим:
    \(\dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - \dfrac{a^2 - b^2}{4} - a = \dfrac{4ab}{4} - a = ab - a\)
    Ответ: \(a(b - 1)\).

  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 4x + y = 7 \end{cases} \] Решение:
    Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 7 - 4x\)
    Подставим в первое уравнение: \(3x - 2(7 - 4x) = 4 \quad \Rightarrow \quad 11x = 18 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{18}{11}\)
    \(y = 7 - 4 \cdot \dfrac{18}{11} = \dfrac{5}{11}\)
    Ответ: \(\left(\dfrac{18}{11}; \dfrac{5}{11}\right)\).

  6. Разложите на множители:
    1. \( a^2 - 12a + 36 \)
      Решение:
      Квадрат разности: \((a - 6)^2\)
      Ответ: \((a - 6)^2\).

    2. \( x^3 - 5x^2 - 16x + 80 \)
      Решение:
      Группировка: \(x^2(x - 5) - 16(x - 5) = (x - 5)(x^2 - 16) = (x - 5)(x - 4)(x + 4)\)
      Ответ: \((x - 5)(x - 4)(x + 4)\).


  7. При пересечении двух прямых отношение двух углов равно 5:4. Найдите меры углов.
    Решение:
    Сумма смежных углов \(180^\circ\): \(5k + 4k = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad k = 20^\circ\)
    Углы: \(100^\circ\), \(80^\circ\), \(100^\circ\), \(80^\circ\)
    Ответ: \(100^\circ\), \(80^\circ\), \(100^\circ\), \(80^\circ\).

  8. Докажите, что \( MA = NC \).
    Решение:
    Треугольники \(MDA\) и \(NDC\) равны по признаку АА (углы \(MDA = NDC\) и \(ABD = CBD\) как биссектриса). Следовательно, \(MA = NC\).
    Ответ: Доказано.

  9. Найдите угол \( \angle MNC \).
    Решение:
    Из подобия треугольников \(AMN\) и \(ABC\) следует, что \(\angle MNC = \angle ACB = 70^\circ\).
    Ответ: \(70^\circ\).
Материалы школы Юайти