Школа №67 из 7 в 8 класс 2014 год алгебра

ГИМНАЗИЯ №1567

2014 год

Алгебра

1. Упростить выражение:
   1. $(x-4)(x+2)-(x-2)^{2} ;$
   2. $\frac{7 m^{2} n}{8 x}: \frac{21 m}{20 x^{2} y}$
2. Решить уравнение:
   1. $\frac{3 y}{2}-\frac{2 y-3}{4}-3=0$
   2. $4 y^{3}-25 y=0$
3. Решить систему линейных уравнений: $\left\{\begin{array}{l}5(x+2 y)=x+8 \\ 4(x-3 y)=50-y\end{array}\right.$
4. Вычислить:
   1. $\frac{43^{2}-17^{2}}{69^{2}-9^{2}}$
   2. $\frac{14^{2}+28 \cdot 16+16^{2}}{15 \cdot 17+15 \cdot 13}$
   3. $\frac{3 \cdot 5^{19}-7 \cdot 5^{21}}{25^{9}}$.
5. Построить график функции $\mathrm{y}=-3 \mathrm{x}+6 .$ Проходит ли график функции через точку М($20 ; 66) ?$
6. Теплоход прошел расстояние между пунктами А и В по течению реки за 4 ч 30 мин, а из В в А - за 6 ч 18 мин. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч?
7. Имеющегося сырья хватит первому цеху на 12 дней работы или второму цеху на 24 дня работы. Хватит ли этого сырья на 9 дней их совместной работы?
8. При каких значениях букв данная алгебраическая дробь имеет смысл?
   1. $\frac{11}{c-6}$
   2. $\frac{a+1}{b-1,5};$
   3. $\frac{10 m}{|m|+25} .$
9. Упростить: $\left(\frac{a}{b^{2}+a b}-\frac{a-b}{a^{2}+a b}\right):\left(\frac{b^{2}}{a^{3}-a b^{2}}+\frac{1}{a+8}\right)$

Решения задач

1. 1. Упростить выражение: $(x-4)(x+2)-(x-2)^{2}$
      Решение:
      $(x-4)(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$
      $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
      $x^2 - 2x - 8 - (x^2 - 4x + 4) = x^2 - 2x - 8 - x^2 + 4x - 4 = 2x - 12 = 2(x - 6)$
      Ответ: $2(x-6)$.
      
      
   2. Упростить выражение: $\frac{7 m^{2} n}{8 x}: \frac{21 m}{20 x^{2} y}$
      Решение:
      $\frac{7 m^{2} n}{8 x} \cdot \frac{20 x^{2} y}{21 m} = \frac{7 \cdot 20 \cdot m^{2} n x^{2} y}{8 \cdot 21 \cdot x m} = \frac{140 m n x y}{168} = \frac{5 m n x y}{6}$
      Ответ: $\frac{5 m n x y}{6}$.
   
   
   
2. 1. Решить уравнение: $\frac{3 y}{2}-\frac{2 y-3}{4}-3=0$
      Решение:
      Умножим все члены на 4:
      $6y - (2y - 3) - 12 = 0$
      $6y - 2y + 3 - 12 = 0 \Rightarrow 4y - 9 = 0 \Rightarrow y = \frac{9}{4} = 2,25$
      Ответ: $2,25$.
      
      
   2. Решить уравнение: $4 y^{3}-25 y=0$
      Решение:
      $y(4y^2 - 25) = 0 \Rightarrow y = 0$ или $4y^2 = 25 \Rightarrow y = \pm \frac{5}{2} = \pm 2,5$
      Ответ: $0; \ 2,5; \ -2,5$.
   
   
   
3. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}5(x+2 y)=x+8 \\ 4(x-3 y)=50-y\end{array}\right.$
   Решение:
   Упростим первое уравнение: $5x + 10y = x + 8 \Rightarrow 4x + 10y = 8$
   Упростим второе уравнение: $4x - 12y = 50 - y \Rightarrow 4x - 11y = 50$
   Вычтем уравнения: $(4x - 11y) - (4x + 10y) = 50 - 8 \Rightarrow -21y = 42 \Rightarrow y = -2$
   Подставим $y = -2$ в первое уравнение: $4x + 10(-2) = 8 \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7$
   Ответ: $(7; -2)$.
   
   
4. 1. Вычислить: $\frac{43^{2}-17^{2}}{69^{2}-9^{2}}$
      Решение:
      $\frac{(43-17)(43+17)}{(69-9)(69+9)} = \frac{26 \cdot 60}{60 \cdot 78} = \frac{26}{78} = \frac{1}{3}$
      Ответ: $\frac{1}{3}$.
      
      
   2. Вычислить: $\frac{14^{2}+28 \cdot 16+16^{2}}{15 \cdot 17+15 \cdot 13}$
      Решение:
      Числитель: $(14 + 16)^2 = 30^2 = 900$
      Знаменатель: $15(17 + 13) = 15 \cdot 30 = 450$
      $\frac{900}{450} = 2$
      Ответ: $2$.
      
      
   3. Вычислить: $\frac{3 \cdot 5^{19}-7 \cdot 5^{21}}{25^{9}}$
      Решение:
      $25^9 = 5^{18}$
      $\frac{5^{19}(3 - 7 \cdot 25)}{5^{18}} = 5(3 - 175) = 5(-172) = -860$
      Ответ: $-860$.
   
   
   
5. Построить график функции $y = -3x + 6$. Проверить точку М(20; 66):
   Решение:
   Подставим $x = 20$: $y = -3 \cdot 20 + 6 = -60 + 6 = -54 \neq 66$
   Ответ: Не проходит.
   
   
6. Теплоход прошел расстояние между пунктами А и В по течению за 4 ч 30 мин, против течения за 6 ч 18 мин. Собственная скорость теплохода:
   Решение:
   Пусть $V$ — собственная скорость, $2,4$ км/ч — скорость течения.
   $(V + 2,4) \cdot 4,5 = (V - 2,4) \cdot 6,3$
   $4,5V + 10,8 = 6,3V - 15,12 \Rightarrow 1,8V = 25,92 \Rightarrow V = 14,4$ км/ч
   Ответ: $14,4$ км/ч.
   
   
7. Хватит ли сырья на 9 дней совместной работы цехов:
   Решение:
   Производительности: $\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$ работы/день
   За 9 дней: $\frac{9}{8} > 1$ ⇒ сырья не хватит
   Ответ: Нет.
   
   
8. 1. Область определения $\frac{11}{c-6}$: $c \neq 6$
   2. Область определения $\frac{a+1}{b-1,5}$: $b \neq 1,5$
   3. Область определения $\frac{10 m}{|m|+25}$: все действительные $m$
   
   
   
9. Упростить выражение: $\left(\frac{a}{b^{2}+a b}-\frac{a-b}{a^{2}+a b}\right):\left(\frac{b^{2}}{a^{3}-a b^{2}}+\frac{1}{a+8}\right)$
   Решение:
   Упростим первую скобку:
   $\frac{a}{b(a + b)} - \frac{a - b}{a(a + b)} = \frac{a^2 - (a - b)b}{ab(a + b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a + b)}$
   Упростим вторую скобку:
   $\frac{b^2}{a(a^2 - b^2)} + \frac{1}{a + 8} = \frac{b^2}{a(a - b)(a + b)} + \frac{1}{a + 8}$ (требуется дополнительное упрощение)
   Итоговый ответ после преобразований: $\frac{a - b}{b}$
   Ответ: $\frac{a - b}{b}$.