8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 2014
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2014 год


2 часа



  1. Вычислите удобным способом $\left(7,42 \cdot \frac{5}{9}-(-11,58): 1 \frac{4}{5}\right): 0,38$.
    1. Постройте на координатной плоскости график функции $y=\mathrm{k} x+\mathrm{b}($ где $x-\mathrm{a}$ бсциссы точек, а у-их ординаты).
    2. Укажите координаты точек пересечения с осями координат и найдите площадь треугольника с вершинами в этих точках и начале координат.
  3. Упростите $\frac{3 x^{4}}{25 y^{5}} \cdot \frac{5(y z)^{5}}{9 x^{3}}$.
  4. Решите уравнение
    1. $\frac{x-1}{4}=\frac{7-3 x}{10}-\frac{4 x-1}{5}$,
    2. $(x+4)(3 x-1)-(3 x-2)(3 x+2)=2 x(11-3 x)$.
  5. Из формулы $p=\frac{6 a m}{3 a-m}$ выразите $m$ через $p$ и $a$.
  6. Разложите на множители:
  7. $2 a^{2}+3 b-2 a b-3 a ;$
  8. $25 x-x^{3} ;$
  9. $x^{3} y^{5}-x^{6} y^{2}$.
  10. Отрезок $A K$ пересекает отрезок $B M$ в точке $O$, причем $A O=O K$ и прямая $A B$ параллельна прямой $K M$. Докажите, что $A M=B K$.
  11. Скорость судна в стоячей воде 15 км/ч. На путь от А до В против течения реки оно тратит 0,5 ч, а на обратный путь 15 мин. Сколько процентов от скорости судна в стоячей воде составляет скорость реки.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите удобным способом $\left(7,42 \cdot \frac{5}{9}-(-11,58): 1 \frac{4}{5}\right): 0,38$.
    Решение: Преобразуем выражение:
    $\left(7,42 \cdot \frac{5}{9} + 11,58 \cdot \frac{5}{9}\right) : 0,38 = \frac{5}{9}(7,42 + 11,58) : 0,38 = \frac{5}{9} \cdot 19 : 0,38 = \frac{95}{9} : \frac{38}{100} = \frac{95}{9} \cdot \frac{50}{19} = \frac{250}{9}$
    Ответ: $\frac{250}{9}$.

    1. Постройте на координатной плоскости график функции $y=kx+b$.
      Решение: График функции $y=kx+b$ — прямая. Точки пересечения:
      С осью OX: $y=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{k}$ — точка $(-\frac{b}{k}, 0)$
      С осью OY: $x=0 \Rightarrow y=b$ — точка $(0, b)$
    2. Укажите координаты точек пересечения с осями координат и найдите площадь треугольника с вершинами в этих точках и начале координат.
      Решение: Вершины треугольника: $(0,0)$, $(-\frac{b}{k}, 0)$, $(0, b)$. Основания треугольника: $|\frac{b}{k}|$ и $|b|$. Площадь:
      $S = \frac{1}{2} \cdot |\frac{b}{k}| \cdot |b| = \frac{b^2}{2|k|}$
      Ответ: $\frac{b^2}{2|k|}$.


  3. Упростите $\frac{3 x^{4}}{25 y^{5}} \cdot \frac{5(y z)^{5}}{9 x^{3}}$.
    Решение: Перемножим дроби:
    $\frac{3x^4}{25y^5} \cdot \frac{5y^5z^5}{9x^3} = \frac{15x^4y^5z^5}{225x^3y^5} = \frac{xz^5}{15}$
    Ответ: $\frac{xz^5}{15}$.

  4. Решите уравнение
    1. $\frac{x-1}{4}=\frac{7-3x}{10}-\frac{4x-1}{5}$
      Решение: Умножим обе части на 20:
      $5(x-1) = 2(7-3x) - 4(4x-1)$
      $5x - 5 = 14 - 6x - 16x + 4$
      $5x - 5 = 18 - 22x$
      $27x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{27}$
      Ответ: $\frac{23}{27}$.

    2. $(x+4)(3x-1)-(3x-2)(3x+2)=2x(11-3x)$
      Решение: Раскроем скобки:
      $3x^2 - x + 12x - 4 - (9x^2 - 4) = 22x - 6x^2$
      $3x^2 + 11x - 4 - 9x^2 + 4 = 22x - 6x^2$
      $-6x^2 + 11x = 22x - 6x^2$
      $11x = 22x \Rightarrow x = 0$
      Ответ: 0.


  5. Из формулы $p=\frac{6am}{3a-m}$ выразите $m$ через $p$ и $a$.
    Решение: Умножим обе части на $(3a - m)$:
    $p(3a - m) = 6am$
    $3ap - pm = 6am$
    $3ap = m(6a + p)$
    $m = \frac{3ap}{6a + p}$
    Ответ: $\frac{3ap}{6a + p}$.

  6. Разложите на множители:
    1. $2a^2 + 3b - 2ab - 3a$
      Решение: Сгруппируем:
      $(2a^2 - 2ab) + (3b - 3a) = 2a(a - b) - 3(a - b) = (a - b)(2a - 3)$
      Ответ: $(a - b)(2a - 3)$.

    2. $25x - x^3$
      Решение: Вынесем x и разложим:
      $x(25 - x^2) = x(5 - x)(5 + x)$
      Ответ: $x(5 - x)(5 + x)$.

    3. $x^3y^5 - x^6y^2$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $x^3y^2(y^3 - x^3) = x^3y^2(y - x)(y^2 + xy + x^2)$
      Ответ: $x^3y^2(y - x)(y^2 + xy + x^2)$.


  7. Отрезок $AK$ пересекает отрезок $BM$ в точке $O$, причем $AO=OK$ и прямая $AB$ параллельна прямой $KM$. Докажите, что $AM=BK$.
    Решение: Рассмотрим треугольники $AOB$ и $KOM$:
    $\angle AOB = \angle KOM$ (вертикальные)
    $\angle OAB = \angle OKM$ (накрест лежащие при параллельных $AB$ и $KM$)
    $AO = OK$ по условию
    $\Rightarrow \triangle AOB = \triangle KOM$ (по стороне и двум углам)
    $\Rightarrow AB = KM$
    Рассмотрим четырехугольник $ABKM$: $AB \parallel KM$ и $AB = KM \Rightarrow ABKM$ — параллелограмм
    $\Rightarrow AM = BK$ (противоположные стороны параллелограмма равны)
    Ответ: Доказано.

  8. Скорость судна в стоячей воде 15 км/ч. На путь от А до В против течения реки оно тратит 0,5 ч, а на обратный путь 15 мин. Сколько процентов от скорости судна в стоячей воде составляет скорость реки.
    Решение: Пусть $x$ — скорость течения. Тогда:
    $\frac{S}{15 - x} = 0,5$ и $\frac{S}{15 + x} = 0,25$
    Из второго уравнения: $S = 0,25(15 + x)$
    Подставим в первое:
    $\frac{0,25(15 + x)}{15 - x} = 0,5 \Rightarrow 0,25(15 + x) = 0,5(15 - x)$
    $15 + x = 2(15 - x) \Rightarrow 15 + x = 30 - 2x \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$
    Процент от скорости судна: $\frac{5}{15} \cdot 100% = 33.\overline{3}% \approx 33\%$
    Ответ: 33\%.
Материалы школы Юайти