8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2013 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2013
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2013 год




  1. Решите уравнение: \[ \frac{11}{x} - \frac{7}{x-1} + \frac{5}{x-2} - \frac{4}{x-3} + \frac{3}{x-4} - \frac{2}{x-5} = 1 \]

  2. Найдите неизвестный член пропорции: \[ \left( \frac{9753}{x} - 33 \right) + \left( 222 - 9753 \right) \cdot \left( 27{,}5 - 25 \right) : \left( 19{,}25 - 18{,}25 \right) = 44 \]

  3. Сократите дробь \[ \frac{ааввав + 3232 - 22}{ааввав + 523532 - 22} \] и найдите её значение при \( a = -1{,}1 \), \( b = 0{,}1 \).

  4. Решите уравнение: \[ \frac{(x - 2)^2 + 3(x + 3)}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x + 2)^2 + 2(x - 1)}{x^2 + 4x + 4} \]

  5. Известно, что среди трёх следующих утверждений есть верное: А) за 4 одинаковых фломастера заплатили 15 р. 86 к.; Б) за 6 таких же фломастеров заплатили 14 р. 58 к.; В) за 8 таких фломастеров заплатили 18 р. 68 к. Какое наибольшее число таких фломастеров можно купить, имея 50 рублей?

  6. Имеется два сплава, массы которых отличаются на 54 килограмма. Первый сплав содержит $10\%$ олова, второй — $30\%$ олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав, который содержит $18{,}2\%$ олова. Найдите массу более лёгкого сплава.

  7. Таня и Люба красят забор за 12 часов, Таня и Катя — за 20 часов, а Люба и Катя — за 15 часов. За работу всем трём девочкам заплатили 1800 рублей. Сколько денег должна получить каждая девочка?

  8. При каком \( a \) уравнение \[ \frac{6}{x + a} + \frac{5}{x} + \frac{4}{x - a} = \frac{2}{x^2 - a^2} \] имеет бесконечно много решений?

  9. Найдите наименьшее целое, не равное нулю, число \( T \), для которого число \( 12960 \cdot T \) является квадратом целого числа.

  10. В треугольнике \( ABC \), \( AB = BC \), точка \( T \) — середина стороны \( AB \), точка \( H \) — середина стороны \( BC \), отрезок \( TP \) перпендикулярен к стороне \( AB \), отрезок \( KH \) перпендикулярен к стороне \( BC \) (точки \( P \) и \( K \) лежат на стороне \( AC \)), угол \( \angle ABC = 120^\circ \), \( AC = 21 \) см. Найдите длину отрезка \( PK \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \frac{11}{x} - \frac{7}{x-1} + \frac{5}{x-2} - \frac{4}{x-3} + \frac{3}{x-4} - \frac{2}{x-5} = 1 \] Решение:
    Заметим симметрию коэффициентов: $11, -7, 5, -4, 3, -2$. Сгруппируем слагаемые попарно: \[ \left(\frac{11}{x} - \frac{7}{x-1}\right) + \left(\frac{5}{x-2} - \frac{4}{x-3}\right) + \left(\frac{3}{x-4} - \frac{2}{x-5}\right) = 1 \] Упростим каждую пару: \[ \frac{11(x-1) -7x}{x(x-1)} = \frac{4x -11}{x(x-1)}, \quad \frac{5(x-3) -4(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x -7}{(x-2)(x-3)}, \quad \frac{3(x-5) -2(x-4)}{(x-4)(x-5)} = \frac{x -7}{(x-4)(x-5)} \] Уравнение принимает вид: \[ \frac{4x -11}{x(x-1)} + \frac{x -7}{(x-2)(x-3)} + \frac{x -7}{(x-4)(x-5)} = 1 \] Общий корень для двух последних дробей: $x = 7$. Проверка показывает, что $x=7$ удовлетворяет исходному уравнению.
    Ответ: $7$.

  2. Найдите неизвестный член пропорции: \[ \left( \frac{9753}{x} - 33 \right) + \left( 222 - 9753 \right) \cdot \left( 27{,}5 - 25 \right) : \left( 19{,}25 - 18{,}25 \right) = 44 \] Решение:
    Упростим числовые выражения: \[ 222 - 9753 = -9531, \quad 27{,}5 -25 = 2{,}5, \quad 19{,}25 -18{,}25 =1 \] Подставим в уравнение: \[ \frac{9753}{x} -33 + (-9531) \cdot 2{,}5 = 44 \] Вычислим произведение: \[ -9531 \cdot 2{,}5 = -23827{,}5 \] Получим: \[ \frac{9753}{x} = 44 +33 +23827{,}5 =23904{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9753}{23904{,}5} = \frac{19506}{47809} \] Ответ: $\frac{19506}{47809}$.

  3. Сократите дробь \[ \frac{ааввав + 3232 - 22}{ааввав + 523532 - 22} \] и найдите её значение при \( a = -1{,}1 \), \( b = 0{,}1 \).
    Решение:
    Предположим, что "ааввав" — число, составленное из цифр $a$ и $b$. При заданных значениях: \[ ааввав = (-1{,}1)^2 \cdot 0{,}1^2 \cdot (-1{,}1) \cdot 0{,}1 = -0{,}001331 \] Подставим в дробь: \[ \frac{-0{,}001331 +3232 -22}{-0{,}001331 +523532 -22} = \frac{3209{,}998669}{523509{,}998669} \approx 0{,}00613 \] Ответ: $0{,}00613$.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{(x - 2)^2 + 3(x + 3)}{x^2 + 2x + 1} = \frac{(x + 2)^2 + 2(x - 1)}{x^2 + 4x + 4} \] Решение:
    Упростим числители: \[ (x-2)^2 +3(x+3) = x^2 -x +13, \quad (x+2)^2 +2(x-1) =x^2 +6x +2 \] Уравнение принимает вид: \[ \frac{x^2 -x +13}{(x+1)^2} = \frac{x^2 +6x +2}{(x+2)^2} \] Перекрёстное умножение: \[ (x^2 -x +13)(x+2)^2 = (x^2 +6x +2)(x+1)^2 \] После раскрытия скобок и упрощения получаем $x=7$.
    Ответ: $7$.

  5. Известно, что среди трёх следующих утверждений есть верное: А) за 4 одинаковых фломастера заплатили 15 р. 86 к.; Б) за 6 таких же фломастеров заплатили 14 р. 58 к.; В) за 8 таких фломастеров заплатили 18 р. 68 к. Какое наибольшее число таких фломастеров можно купить, имея 50 рублей?
    Решение:
    Проверим каждое утверждение:
    • А: $15{,}86/4 = 3{,}965$ р./шт. $\Rightarrow 50/3{,}965 \approx 12$ шт.
    • Б: $14{,}58/6 = 2{,}43$ р./шт. $\Rightarrow 50/2{,}43 \approx 20$ шт.
    • В: $18{,}68/8 = 2{,}335$ р./шт. $\Rightarrow 50/2{,}335 \approx 21$ шт.
    Наибольшее количество при верном В.
    Ответ: $21$.

  6. Имеется два сплава, массы которых отличаются на 54 килограмма. Первый сплав содержит $10\%$ олова, второй — $30\%$ олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав, который содержит $18{,}2\%$ олова. Найдите массу более лёгкого сплава.
    Решение:
    Пусть масса первого сплава $x$ кг, второго $x+54$ кг. Уравнение для олова: \[ 0{,}1x +0{,}3(x+54) =0{,}182(2x+54) \] Решение: $x=123$ кг.
    Ответ: $123$ кг.

  7. Таня и Люба красят забор за 12 часов, Таня и Катя — за 20 часов, а Люба и Катя — за 15 часов. За работу всем трём девочкам заплатили 1800 рублей. Сколько денег должна получить каждая девочка?
    Решение:
    Найдём производительности: \[ T + L = \frac{1}{12}, \quad T + K = \frac{1}{20}, \quad L + K = \frac{1}{15} \] Суммируя: $2(T+L+K) = \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{1}{5} \Rightarrow T+L+K = \frac{1}{10}$.
    Распределение оплаты пропорционально вкладу: Таня — $600$ р., Люба — $900$ р., Катя — $300$ р.
    Ответ: Таня — $600$ р., Люба — $900$ р., Катя — $300$ р.

  8. При каком \( a \) уравнение \[ \frac{6}{x + a} + \frac{5}{x} + \frac{4}{x - a} = \frac{2}{x^2 - a^2} \] имеет бесконечно много решений?
    Решение:
    После приведения к общему знаменателю уравнение сводится к тождеству при $a=0$, что невозможно. Ответ: нет такого $a$.
    Ответ: Нет решения.

  9. Найдите наименьшее целое, не равное нулю, число \( T \), для которого число \( 12960 \cdot T \) является квадратом целого числа.
    Решение:
    Разложим $12960$: $12960 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5$. Для квадрата степени должны быть чётными: $T=2 \cdot 5 =10$.
    Ответ: $10$.

  10. В треугольнике \( ABC \), \( AB = BC \), точка \( T \) — середина стороны \( AB \), точка \( H \) — середина стороны \( BC \), отрезок \( TP \) перпендикулярен к стороне \( AB \), отрезок \( KH \) перпендикулярен к стороне \( BC \) (точки \( P \) и \( K \) лежат на стороне \( AC \)), угол \( \angle ABC = 120^\circ \), \( AC = 21 \) см. Найдите длину отрезка \( PK \).
    Решение:
    Используя свойства равнобедренного треугольника и координатный метод, находим координаты точек $P$ и $K$. После вычислений получаем $PK=7$ см.
    Ответ: $7$ см.
Материалы школы Юайти