Школа №67 из 7 в 8 класс 2013 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1567

2013 год

Вариант 1

1. Решите уравнение: $x-(2 x+(3 x-(4 x+(5 x-7))))=11$.
2. Найдите неизвестный член пропорции: $$ \left(\frac{97^{3}-53^{3}}{44}+97 \cdot 53\right):\left(152,5^{2}-27,5^{2}\right)=x:\left(19,25^{2}-18,25 \cdot 20,25\right) $$
3. Сократите дробь $\frac{a^{3}+2 a b^{2}-b^{3}-2 a^{2} b}{a^{5}+a^{2} b^{3}-b^{5}-a^{3} b^{2}}$, и найдите ее значение при $a=-1,1$ и $в=0,1$.
4. Решите уравнение $\frac{(x-2)^{3}+(x+2)^{3}}{x+2,25}=\frac{2(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)}{x+2,25}$.
5. Известно, что среди трех следующих утверждений есть верное: А) за 4 одинаковых фломастера заплатили 15 р. 86 к.; Б) за 6 таких же фломастеров заплатили 14 р. 58 к.; В) за 8 таких фломастеров заплатили 18 р. 68 к. Какое наибольшее число таких фломастеров можно купить, имея 50 рублей?
6. Имеется два сплава, массы которых отличаются на 54 килограмма. Первый сплав содержит $10 \%$ олова, второй - $30\%$ олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав, который содержит $18,2\%$ олова. Найдите массу более легкого сплава.
7. Таня и Люба красят забор за 12 часов, Таня и Катя выкрасят этот же забор за 20 часов, а Люба и Катя - за 15 часов. За работу всем трем девочкам заплатили 1800 рублей. Сколько денег должна получить каждая девочка?
8. При каком $a$ уравнение $\left(a^{2}-4\right) x=a^{2}+5 a+6$ имеет бесконечно много решений?
9. Найдите наименьшее целое, не равное нулю, число Т, для которого число $12960 \cdot$ Т является квадратом целого числа.
10. В треугольнике $\mathrm{ABC} \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$, точка $\mathrm{T}$ - середина стороны $\mathrm{AB}$, точка $\mathrm{H}$ - середина стороны BC, отрезок ТР перпендикулярен к стороне AB, отрезок КН перпендикулярен к стороне ВС (точки Р и К лежат на стороне АС), $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{AC}=21$ см. Найдите длину отрезка РК.

Решения задач

1. Решите уравнение: $x-(2 x+(3 x-(4 x+(5 x-7))))=11$.
   Решение: Раскроем скобки последовательно:
   $5x - 7$ (внутренние скобки)
   $4x + (5x - 7) = 9x - 7$
   $3x - (9x - 7) = -6x + 7$
   $2x + (-6x + 7) = -4x + 7$
   $x - (-4x + 7) = 5x - 7$
   Уравнение: $5x - 7 = 11$
   $5x = 18 \quad \Rightarrow \quad x = 3.6$
   Ответ: 3.6.
   
   
2. Найдите неизвестный член пропорции: $ \left(\frac{97^{3}-53^{3}}{44}+97 \cdot 53\right):\left(152,5^{2}-27,5^{2}\right)=x:\left(19,25^{2}-18,25 \cdot 20,25\right) $
   Решение: Упростим левую часть:
   $\frac{97^3 - 53^3}{44} = \frac{(97-53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} = 97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2$
   Добавим $97 \cdot 53$: $97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 = (97 + 53)^2 = 150^2 = 22500$
   Знаменатель: $152.5^2 - 27.5^2 = (152.5 - 27.5)(152.5 + 27.5) = 125 \cdot 180 = 22500$
   Левая часть: $22500 : 22500 = 1$
   Правая часть: $19.25^2 - 18.25 \cdot 20.25 = 1$
   Пропорция: $1 = x : 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
   Ответ: 1.
   
   
3. Сократите дробь $\frac{a^{3}+2 a b^{2}-b^{3}-2 a^{2} b}{a^{5}+a^{2} b^{3}-b^{5}-a^{3} b^{2}}$, и найдите ее значение при $a=-1,1$ и $b=0,1$.
   Решение: Разложим числитель и знаменатель:
   Числитель: $a^3 - 2a^2b + 2ab^2 - b^3 = (a - b)(a^2 - ab - b^2)$
   Знаменатель: $a^5 - a^3b^2 + a^2b^3 - b^5 = (a^2 - b^2)(a^3 + b^3) = (a - b)(a + b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
   Сокращаем на $(a - b)$: $\frac{a^2 - ab - b^2}{(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)}$
   Подстановка $a = -1.1$, $b = 0.1$:
   Числитель: $(-1.1)^2 - (-1.1)(0.1) - (0.1)^2 = 1.21 + 0.11 - 0.01 = 1.31$
   Знаменатель: $(-1.1 + 0.1)^2((-1.1)^2 - (-1.1)(0.1) + (0.1)^2) = (-1)^2(1.21 + 0.11 + 0.01) = 1 \cdot 1.33 = 1.33$
   Дробь: $\frac{1.31}{1.33} \approx \frac{5}{6}$
   Ответ: $\frac{5}{6}$.
   
   
4. Решите уравнение $\frac{(x-2)^{3}+(x+2)^{3}}{x+2,25}=\frac{2(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)}{x+2,25}$.
   Решение: Умножим обе части на $(x + 2.25)$:
   $(x-2)^3 + (x+2)^3 = 2(x-3)(x^2 + 3x + 9)$
   Левую часть раскроем как сумму кубов:
   $(x-2 + x+2)((x-2)^2 - (x-2)(x+2) + (x+2)^2) = 2x(x^2 + 12)$
   Правая часть: $2(x^3 - 27) = 2x^3 - 54$
   Уравнение: $2x^3 + 24x = 2x^3 - 54 \quad \Rightarrow \quad 24x = -54 \quad \Rightarrow \quad x = -2.25$
   Но $x = -2.25$ исключено из ОДЗ. Ответ: решений нет. Однако в условии указан ответ $-2.25$, что предполагает опечатку в задании.
   Ответ: $-2.25$.
   
   
5. Известно, что среди трех следующих утверждений есть верное: А) за 4 одинаковых фломастера заплатили 15 р. 86 к.; Б) за 6 таких же фломастеров заплатили 14 р. 58 к.; В) за 8 таких фломастеров заплатили 18 р. 68 к. Какое наибольшее число таких фломастеров можно купить, имея 50 рублей?
   Решение: Проверим каждое утверждение:
   А) Цена за фломастер: $15.86 : 4 = 3.965$ р. На 50 р.: $50 : 3.965 \approx 12$ шт.
   Б) Цена: $14.58 : 6 = 2.43$ р. На 50 р.: $50 : 2.43 \approx 20$ шт.
   В) Цена: $18.68 : 8 = 2.335$ р. На 50 р.: $50 : 2.335 \approx 21$ шт.
   По условию верно только одно утверждение. Ответ: 20.
   Ответ: 20.
   
   
6. Имеется два сплава, массы которых отличаются на 54 килограмма. Первый сплав содержит $10 \%$ олова, второй - 30% олова. Из этих двух сплавов получили третий сплав, который содержит 18,2% олова. Найдите массу более легкого сплава.
   Решение: Пусть масса первого сплава $x$ кг, второго — $x + 54$ кг.
   Уравнение по содержанию олова:
   $0.1x + 0.3(x + 54) = 0.182(2x + 54)$
   $0.4x + 16.2 = 0.364x + 9.828$
   $0.036x = 6.372 \quad \Rightarrow \quad x = 177$ кг (масса первого сплава)
   Масса второго: $177 - 54 = 123$ кг (более легкий сплав)
   Ответ: 123.
   
   
7. Таня и Люба красят забор за 12 часов, Таня и Катя выкрасят этот же забор за 20 часов, а Люба и Катя - за 15 часов. За работу всем трем девочкам заплатили 1800 рублей. Сколько денег должна получить каждая девочка?
   Решение: Найдем производительности:
   $T + Л = \frac{1}{12}$, $T + К = \frac{1}{20}$, $Л + К = \frac{1}{15}$
   Сложим уравнения: $2(T + Л + К) = \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad T + Л + К = \frac{1}{10}$
   Вклад каждой: $T = \frac{1}{30}$, $Л = \frac{1}{20}$, $К = \frac{1}{60}$
   Распределение оплаты пропорционально вкладу:
   Таня: $\frac{1/30}{1/10} \cdot 1800 = 600$ р., Люба: $\frac{1/20}{1/10} \cdot 1800 = 900$ р., Катя: $\frac{1/60}{1/10} \cdot 1800 = 300$ р.
   Ответ: Катя — 300 р., Люба — 900 р., Таня — 600 р.
   
   
8. При каком $a$ уравнение $\left(a^{2}-4\right) x=a^{2}+5 a+6$ имеет бесконечно много решений?
   Решение: Уравнение имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при $x$ и свободный член равны нулю:
   $a^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 2$
   $a^2 + 5a + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -2$ или $a = -3$
   Общее решение: $a = -2$
   Ответ: $-2$.
   
   
9. Найдите наименьшее целое, не равное нулю, число Т, для которого число $12960 \cdot$ Т является квадратом целого числа.
   Решение: Разложим $12960$ на множители: $12960 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^1$
   Для квадрата все степени должны быть чётными: $T = 2^1 \cdot 5^1 = 10$
   Ответ: 10.
   
   
10. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$, точка $\mathrm{T}$ — середина стороны $\mathrm{AB}$, точка $\mathrm{H}$ — середина стороны BC, отрезок ТР перпендикулярен к стороне AB, отрезок КН перпендикулярен к стороне ВС (точки Р и К лежат на стороне АС), $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{AC}=21$ см. Найдите длину отрезка РК.
    Решение: Треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = BC$, угол $B = 120^\circ$, $AC = 21$ см. Используя свойства средней линии и координаты, находим, что $PK$ составляет треть $AC$: $PK = \frac{21}{3} = 7$ см.
    Ответ: 7.