8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 2012
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2012 год


Вариант 3



  1. Известно, что $m+n=-5, m n=6$. Найдите значение выражения $\frac{m^{4} n+m n^{4}}{m^{3}+n^{3}+m^{2} n+n^{2} m} .$
  2. Найдите значение выражения $\frac{(41802 \cdot 41822+100)(41792 \cdot 41832+400)}{41812^{4}} .$
  3. Найти все целые $m$, при которых значение дроби $\frac{7}{3-2 m}$ является целым числом.
  4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{5}: \frac{1}{4}: \frac{1}{3}, \mathrm{a}$ четвертое составляет $60 \%$ от третьего. Найдите эти числа, если известно, что разность удвоенного второго и четвертого чисел равна $36 .$
  5. Из А в В выехали два автобуса. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 35 км/ч, а остальное время - со скоростью 30 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 30 км/ч, а вторую со скоростью 35 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
  6. Цена входного билета в концертный зал составляла 60 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на $50 \%$, а выручка выросла на $15 \%$. Какова новая цена?
  7. Решите уравнение: $(4|x|-3,8)\left(2|x|+9 \frac{1}{3}\right)^{3}=\left(2|x|+9 \frac{1}{3}\right)(4|x|-3,8)^{3}$.
  8. Дано уравнение: $\left.16 a^{2}(x-1)+25(x+1)=40 a x . \mathrm{A}\right)$ при каких а уравнение имеет корень, равный $1 ;$ Б) решите уравнение при $a=-4 ;$ В) при каких $a$ уравнение имеет более двух корней?
  9. 60 одинаковых ластиков стоят 167 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
  10. В треугольнике РQТ угол Q равен $90^{\circ} .$ На луче ТР отмечена точка О так, что $\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}$, и точка $\mathrm{P}$ находится между точками $\mathrm{O}$ и Т. На луче РТ отмечена точка $\mathrm{K}$ так, что $\mathrm{QT}=\mathrm{TK}$, и точка Т находится между точками Р и К. Найдите градусную меру угла ОQК.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Известно, что $m+n=-5, mn=6$. Найдите значение выражения $\frac{m^{4} n+m n^{4}}{m^{3}+n^{3}+m^{2} n+n^{2} m} .$
    Решение:
    Числитель: $m^4n + mn^4 = mn(m^3 + n^3) = mn[(m + n)^3 - 3mn(m + n)] = 6[(-5)^3 - 3 \cdot 6 \cdot (-5)] = 6[-125 + 90] = 6 \cdot (-35) = -210$.
    Знаменатель: $m^3 + n^3 + m^2n + n^2m = (m^3 + n^3) + mn(m + n) = -35 + 6 \cdot (-5) = -35 - 30 = -65$.
    $\frac{-210}{-65} = \frac{42}{13}$.
    Ответ: $\frac{42}{13}$.
  2. Найдите значение выражения $\frac{(41802 \cdot 41822+100)(41792 \cdot 41832+400)}{41812^{4}} .$
    Решение:
    Заметим, что $41802 = 41812 - 10$, $41822 = 41812 + 10$, $41792 = 41812 - 20$, $41832 = 41812 + 20$.
    Тогда:
    $(41802 \cdot 41822 + 100) = (41812^2 - 10^2) + 100 = 41812^2$.
    $(41792 \cdot 41832 + 400) = (41812^2 - 20^2) + 400 = 41812^2$.
    $\frac{41812^2 \cdot 41812^2}{41812^4} = 1$.
    Ответ: 1.
  3. Найти все целые $m$, при которых значение дроби $\frac{7}{3-2 m}$ является целым числом.
    Решение:
    Знаменатель должен быть делителем 7: $3 - 2m \in \{\pm1, \pm7\}$.
    Решаем уравнения:
    $3 - 2m = 1 \Rightarrow m = 1$; $3 - 2m = -1 \Rightarrow m = 2$;
    $3 - 2m = 7 \Rightarrow m = -2$; $3 - 2m = -7 \Rightarrow m = 5$.
    Ответ: $-2, 1, 2, 5$.
  4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{5}: \frac{1}{4}: \frac{1}{3}$, а четвертое составляет $60 \%$ от третьего. Найдите эти числа, если известно, что разность удвоенного второго и четвертого чисел равна $36 .$
    Решение:
    Приведем отношения к общему знаменателю: $\frac{1}{5} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3} = 12 : 15 : 20$. Пусть числа: $12k$, $15k$, $20k$.
    Четвертое число: $0,6 \cdot 20k = 12k$.
    Условие: $2 \cdot 15k - 12k = 36 \Rightarrow 18k = 36 \Rightarrow k = 2$.
    Числа: $24$, $30$, $40$, $24$.
    Ответ: $24$, $30$, $40$, $24$.
  5. Из А в В выехали два автобуса. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 35 км/ч, а остальное время - со скоростью 30 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 30 км/ч, а вторую со скоростью 35 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
    Решение:
    Пусть расстояние $S$, время первого автобуса $t_1$:
    $S = 35 \cdot \frac{t_1}{2} + 30 \cdot \frac{t_1}{2} = \frac{65t_1}{2} \Rightarrow t_1 = \frac{2S}{65}$.
    Время второго автобуса $t_2$:
    $t_2 = \frac{S}{2 \cdot 30} + \frac{S}{2 \cdot 35} = \frac{S}{60} + \frac{S}{70} = \frac{13S}{420}$.
    Сравниваем: $\frac{2}{65} \approx 0,03077 < \frac{13}{420} \approx 0,03095$. Первый автобус быстрее.
    Ответ: первый автобус.
  6. Цена входного билета в концертный зал составляла 60 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на $50 \%$, а выручка выросла на $15 \%$. Какова новая цена?
    Решение:
    Пусть новая цена $x$, старое количество зрителей $N$.
    Новая выручка: $1,5N \cdot x = 1,15 \cdot 60N \Rightarrow 1,5x = 69 \Rightarrow x = 46$.
    Ответ: 46 рублей.
  7. Решите уравнение: $(4|x|-3,8)\left(2|x|+9 \frac{1}{3}\right)^{3}=\left(2|x|+9 \frac{1}{3}\right)(4|x|-3,8)^{3}$.
    Решение:
    Переносим все в одну сторону и выносим общие множители:
    $(4|x| - 3,8)(2|x| + 9\frac{1}{3})[(2|x| + 9\frac{1}{3})^2 - (4|x| - 3,8)^2] = 0$.
    Разность квадратов: $(6|x| + 5\frac{8}{15})(-2|x| + 13\frac{2}{15}) = 0$.
    Решения:
    $4|x| - 3,8 = 0 \Rightarrow |x| = 0,95$;
    $-2|x| + 13\frac{2}{15} = 0 \Rightarrow |x| = \frac{197}{30}$.
    Ответ: $x = \pm0,95$; $x = \pm\frac{197}{30}$.
  8. Дано уравнение: $16 a^{2}(x-1)+25(x+1)=40 a x$.
    А) При каких $a$ уравнение имеет корень, равный $1$?
    Б) Решите уравнение при $a=-4$;
    В) При каких $a$ уравнение имеет более двух корней?
    Решение:
    А) Подставляем $x=1$: $25 \cdot 2 = 40a \Rightarrow a = \frac{5}{4}$.
    Ответ: $a = \frac{5}{4}$.
    Б) При $a = -4$: $256(x - 1) + 25(x + 1) = -160x \Rightarrow 281x = 231 \Rightarrow x = \frac{33}{63} = \frac{11}{21}$.
    Ответ: $x = \frac{11}{21}$.
    В) Уравнение имеет бесконечно много корней, если коэффициенты при $x$ и свободный член равны нулю:
    $16a^2 + 25 - 40a = 0$ и $-16a^2 + 25 = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{4}$.
    Ответ: $a = \frac{5}{4}$.
  9. 60 одинаковых ластиков стоят 167 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
    Решение:
    Пусть цена ластика $x$ копеек. Тогда $60x$ копеек лежит в интервале $[16700; 16799]$.
    $16700 \leq 60x \leq 16799 \Rightarrow 278,\overline{3} \leq x \leq 279,98$. Единственное целое значение: $x = 279$ копеек ($2,79$ рубля).
    Ответ: 2,79 рубля.
  10. В треугольнике $PQT$ угол $Q$ равен $90^{\circ}$. На луче $TP$ отмечена точка $O$ так, что $OP=PQ$, и точка $P$ находится между точками $O$ и $T$. На луче $PT$ отмечена точка $K$ так, что $QT=TK$, и точка $T$ находится между точками $P$ и $K$. Найдите градусную меру угла $OQK$.
    Решение:
    Рассмотрим координаты: $Q(0,0)$, $P(0,a)$, $T(b,0)$. Точка $O(-ab/\sqrt{a^2 + b^2}, a + a^2/\sqrt{a^2 + b^2})$, точка $K(b(1 + b/\sqrt{a^2 + b^2}), -ab/\sqrt{a^2 + b^2})$.
    Векторы $\overrightarrow{QO}$ и $\overrightarrow{QK}$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, угол $OQK = 90^{\circ}$.
    Ответ: $90^{\circ}$.
Материалы школы Юайти