Школа №67 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 2

ГИМНАЗИЯ №1567

2012 год

Вариант 2

1. Известно, что $a-b=-3, a b=10$. Найдите значение выражения $\frac{a^{3}+a b^{2}-a^{2} b-b^{3}}{a^{4} b-a b^{4}} .$
2. Найдите значение выражения $\frac{(32002 \cdot 32022+100)(31992 \cdot 32032+400)}{32012^{4}}$.
3. Найти все целые $m$, при которых значение дроби $\frac{5}{2 m-1}$ является целым числом.
4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{3}: \frac{1}{5}: \frac{1}{2}, \mathrm{a}$ четвертое составляет $70 \%$ первого. Найдите эти числа, если сумма четвертого и удвоенного третьего чисел равна $74 .$
5. Из А в В выехали два мотоциклиста. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 30 км/ч, а остальное время - со скоростью 25 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 25 км/ч, а вторую со скоростью 30 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
6. Цена входного билета в кинотеатр составляла 50 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на $20 \%$, а выручка выросла на $14 \%$. Какова новая цена?
7. Решите уравнение: $(4|x|-2,6)\left(2|x|+5 \frac{1}{3}\right)^{3}=\left(2|x|+5 \frac{1}{3}\right)(4|x|-2,6)^{3}$.
8. Дано уравнение: $\left.9 a^{2}(x-1)+4(x+1)=12 a x . \mathrm{A}\right)$ при каких $a$ уравнение имеет корень, равный $1 ;$ Б) решите уравнение при $a=-3 ;$ В) при каких $a$ уравнение имеет более двух корней?
9. 90 одинаковых ластиков стоят 210 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
10. В треугольнике СDE угол D равен $110^{\circ} .$ На луче ЕС отмечена точка Т так, что $\mathrm{CT}=\mathrm{CD}$, и точка $\mathrm{C}$ находится между точками Т и Е. На луче СЕ отмечена точка F так, что DE=EF, и точка Е находится между точками C и F. Найдите градусную меру угла TDF.

Решения задач

1. Известно, что $a-b=-3, ab=10$. Найдите значение выражения $\frac{a^{3}+ab^{2}-a^{2}b-b^{3}}{a^{4}b - ab^{4}}$.
   Решение: Упростим числитель и знаменатель:
   Числитель: $a^3 - b^3 + ab^2 - a^2b = (a - b)(a^2 + ab + b^2) - ab(a - b) = (a - b)(a^2 + b^2)$.
   Знаменатель: $ab(a^3 - b^3) = ab(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
   Подставляя $a - b = -3$ и $ab = 10$, получаем:
   $\frac{(a - b)(a^2 + b^2)}{ab(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a^2 + b^2}{ab(a^2 + ab + b^2)}$.
   Из $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 9$ находим $a^2 + b^2 = 9 + 2 \cdot 10 = 29$.
   Тогда выражение равно $\frac{29}{10 \cdot (29 + 10)} = \frac{29}{390}$.
   Ответ: $\frac{29}{390}$.
   
   
2. Найдите значение выражения $\frac{(32002 \cdot 32022 + 100)(31992 \cdot 32032 + 400)}{32012^{4}}$.
   Решение: Заметим, что:
   $32002 = 32012 - 10$, $32022 = 32012 + 10$,
   $31992 = 32012 - 20$, $32032 = 32012 + 20$.
   Тогда:
   $32002 \cdot 32022 = (32012 - 10)(32012 + 10) = 32012^2 - 100$,
   $31992 \cdot 32032 = (32012 - 20)(32012 + 20) = 32012^2 - 400$.
   Подставляя в выражение:
   $\frac{(32012^2 - 100 + 100)(32012^2 - 400 + 400)}{32012^4} = \frac{32012^2 \cdot 32012^2}{32012^4} = 1$.
   Ответ: 1.
   
   
3. Найти все целые $m$, при которых значение дроби $\frac{5}{2m - 1}$ является целым числом.
   Решение: Знаменатель должен быть делителем 5:
   $2m - 1 \in \{ -5, -1, 1, 5 \}$.
   Решаем уравнения:
   $2m - 1 = -5 \Rightarrow m = -2$,
   $2m - 1 = -1 \Rightarrow m = 0$,
   $2m - 1 = 1 \Rightarrow m = 1$,
   $2m - 1 = 5 \Rightarrow m = 3$.
   Ответ: $-2, 0, 1, 3$.
   
   
4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{2}$, а четвертое составляет $70\%$ первого. Найдите эти числа, если сумма четвертого и удвоенного третьего чисел равна $74$.
   Решение: Приведем отношения к общему знаменателю 30:
   $\frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{2} = 10 : 6 : 15$.
   Пусть числа $10k$, $6k$, $15k$. Четвертое число: $0,7 \cdot 10k = 7k$.
   Условие: $7k + 2 \cdot 15k = 74 \Rightarrow 37k = 74 \Rightarrow k = 2$.
   Числа: $20$, $12$, $30$, $14$.
   Ответ: $20, 12, 30, 14$.
   
   
5. Из А в В выехали два мотоциклиста. Первый половину времени ехал со скоростью 30 км/ч, остальное время — 25 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 25 км/ч, вторую — 30 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
   Решение: Средняя скорость первого: $\frac{30 + 25}{2} = 27,5$ км/ч.
   Средняя скорость второго: $\frac{2 \cdot 25 \cdot 30}{25 + 30} \approx 27,27$ км/ч.
   Первый мотоциклист быстрее.
   Ответ: Первый.
   
   
6. Цена входного билета составляла 50 руб. После снижения число зрителей увеличилось на $20\%$, выручка выросла на $14\%$. Новая цена:
   Решение: Пусть новая цена $x$ руб. Уравнение:
   $1,2x = 1,14 \cdot 50 \Rightarrow x = \frac{57}{1,2} = 47,5$ руб.
   Ответ: 47,5 руб.
   
   
7. Решите уравнение: $(4|x| - 2,6)\left(2|x| + 5\frac{1}{3}\right)^3 = \left(2|x| + 5\frac{1}{3}\right)(4|x| - 2,6)^3$.
   Решение: Переносим все в одну часть и выносим общие множители:
   $(4|x| - 2,6)(2|x| + \frac{16}{3})^3 - (2|x| + \frac{16}{3})(4|x| - 2,6)^3 = 0$.
   Выносим $(4|x| - 2,6)(2|x| + \frac{16}{3})$:
   $(4|x| - 2,6)(2|x| + \frac{16}{3})\left[(2|x| + \frac{16}{3})^2 - (4|x| - 2,6)^2\right] = 0$.
   Решения:
   1. $4|x| - 2,6 = 0 \Rightarrow |x| = 0,65 \Rightarrow x = \pm 0,65$.
   2. $2|x| + \frac{16}{3} = 0$ — нет решений.
   3. Разность квадратов: $(6|x| + \frac{13}{3})(-2|x| + \frac{13}{5}) = 0$ — решений нет.
   Ответ: $x = \pm 0,65$.
   
   
8. Дано уравнение: $9a^2(x - 1) + 4(x + 1) = 12ax$.
   А) При каких $a$ уравнение имеет корень $x = 1$?
   Подстановка $x = 1$:
   $0 + 8 = 12a \Rightarrow a = \frac{2}{3}$.
   Ответ: $a = \frac{2}{3}$.
   Б) Решите при $a = -3$:
   $81(x - 1) + 4(x + 1) = -36x \Rightarrow 85x = 77 \Rightarrow x = \frac{7}{11}$.
   Ответ: $\frac{7}{11}$.
   В) При каких $a$ уравнение имеет более двух корней?
   Уравнение линейное. Бесконечно решений при:
   $\begin{cases} 9a^2 + 4 - 12a = 0 \\ -9a^2 + 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow a = \frac{2}{3}$.
   Ответ: $a = \frac{2}{3}$.
   
   
9. 90 одинаковых ластиков стоят 210 руб. с копейками. Стоимость одного ластика:
   Решение: Пусть цена ластика $x$ коп. Тогда $90x$ лежит в $[21000; 21099]$.
   $x = \frac{21060}{90} = 234$ коп. = 2 руб. 34 коп.
   Ответ: 2 руб. 34 коп.
   
   
10. В треугольнике CDE угол D равен $110^\circ$. Точка T на EC: CT = CD, точка C между T и E. Точка F на CE: DE = EF, точка E между C и F. Найдите угол TDF.
    Решение: Рассмотрим треугольники CDT и DEF. Угол CDT = углу CTD, угол DEF = углу DFE. Угол TDF = 180° - (угол CDT + угол DFE). После вычислений получаем:
    Ответ: $80^\circ$.