8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2012
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2012 год


Вариант 1



  1. Известно, что $x+y=-7, x y=12$. Найдите значение выражения $\frac{x^{3}+y^{2} x+x^{2} y+y^{3}}{x^{4} y+x y^{4}} .$
  2. Найдите значение выражения $\frac{(21557 \cdot 21577+100)(21547 \cdot 21587+400)}{21567^{4}} .$
  3. Найти все целые $m$, при которых значение дроби $\frac{3}{2 m+1}$ является целым числом.
  4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{15}: 0,1: \frac{1}{3}$, а четвертое составляет $80 \%$ третьего. Найдите эти числа, если известно, что разность между суммой третьего и четвертого числа и суммой первого и второго чисел равна $26 .$
  5. Из А в В выехали два велосипедиста. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 25 км/ч, а остальное время - со скоростью 20 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 20 км/ч, а вторую со скоростью 25 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
  6. Цена входного билета на стадион составляла 40 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на $25 \%$, а выручка выросла на $12,5 \%$. Какова новая цена?
  7. Решите уравнение: $(4|x|-3,4)\left(2|x|+7 \frac{1}{3}\right)^{3}=\left(2|x|+7 \frac{1}{3}\right)(4|x|-3,4)^{3}$.
  8. Дано уравнение: $4 a^{2}(x-1)+9(x+1)=12 a x .$ А) при каких $a$ уравнение имеет корень, равный $1 ;$ Б) решите уравнение при $a=-2 ;$ В) при каких $a$ уравнение имеет более двух корней?
  9. 90 одинаковых ластиков стоят 156 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
  10. В треугольнике АВС угол В равен $100^{\circ}$. На луче СА отмечена точка М так, что МА=AB, и точка А находится между точками М и С. На луче AC отмечена точка $\mathrm{N}$ так, что $\mathrm{CN}=\mathrm{BC}$, и точка $\mathrm{C}$ находится между точками А и N. Найдите градусную меру угла МВN.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Известно, что $x+y=-7, x y=12$. Найдите значение выражения $\frac{x^{3}+y^{2} x+x^{2} y+y^{3}}{x^{4} y+x y^{4}} .$
    Решение: Числитель преобразуем:
    $x^3 + y^3 + x^2 y + y^2 x = (x + y)(x^2 - xy + y^2) + xy(x + y) = (x + y)(x^2 + y^2)$
    $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (-7)^2 - 2 \cdot 12 = 25$
    Числитель: $-7 \cdot 25 = -175$
    Знаменатель: $xy(x^3 + y^3) = 12 \cdot (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 12 \cdot (-7) \cdot 13 = -1092$
    $\frac{-175}{-1092} = \frac{25}{156}$
    Ответ: $\frac{25}{156}$.
  2. Найдите значение выражения $\frac{(21557 \cdot 21577+100)(21547 \cdot 21587+400)}{21567^{4}} .$
    Решение: Заметим, что:
    $21557 = 21567 - 10$, $21577 = 21567 + 10$
    $21557 \cdot 21577 = (21567)^2 - 10^2 = 21567^2 - 100$
    Первая скобка: $21567^2 - 100 + 100 = 21567^2$
    Аналогично:
    $21547 = 21567 - 20$, $21587 = 21567 + 20$
    $21547 \cdot 21587 = (21567)^2 - 20^2 = 21567^2 - 400$
    Вторая скобка: $21567^2 - 400 + 400 = 21567^2$
    $\frac{21567^2 \cdot 21567^2}{21567^4} = 1$
    Ответ: 1.
  3. Найти все целые $m$, при которых значение дроби $\frac{3}{2 m+1}$ является целым числом.
    Решение: $2m + 1$ должно быть делителем 3:
    $2m + 1 = \pm1, \pm3$
    Решаем уравнения:
    $2m + 1 = 1 \Rightarrow m = 0$
    $2m + 1 = -1 \Rightarrow m = -1$
    $2m + 1 = 3 \Rightarrow m = 1$
    $2m + 1 = -3 \Rightarrow m = -2$
    Ответ: $m = -2, -1, 0, 1$.
  4. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{15}: 0,1: \frac{1}{3}$, а четвертое составляет $80 \%$ третьего. Найдите эти числа, если известно, что разность между суммой третьего и четвертого числа и суммой первого и второго чисел равна $26 .$
    Решение: Приведем соотношение к общему знаменателю:
    $\frac{1}{15} : \frac{3}{30} : \frac{10}{30} = 1 : 3 : 10$
    Пусть числа: $a$, $3a$, $10a$. Четвертое число: $0.8 \cdot 10a = 8a$
    Условие: $(10a + 8a) - (a + 3a) = 14a = 26 \Rightarrow a = \frac{13}{7}$
    Числа: $\frac{13}{7}$, $\frac{39}{7}$, $\frac{130}{7}$, $\frac{104}{7}$
    Ответ: $\frac{13}{7}$; $\frac{39}{7}$; $\frac{130}{7}$; $\frac{104}{7}$.
  5. Из А в В выехали два велосипедиста. Первый половину времени, затраченного на весь путь, ехал со скоростью 25 км/ч, а остальное время - со скоростью 20 км/ч. Второй первую половину пути ехал со скоростью 20 км/ч, а вторую со скоростью 25 км/ч. Кто из них раньше приехал в В?
    Решение: Пусть расстояние $S$. Для первого:
    Средняя скорость: $\frac{25 + 20}{2} = 22.5$ км/ч. Время: $\frac{S}{22.5}$
    Для второго:
    Средняя скорость: $\frac{2}{\frac{1}{20} + \frac{1}{25}} = \frac{200}{9} \approx 22.22$ км/ч. Время: $\frac{9S}{200}$
    Сравним $\frac{S}{22.5}$ и $\frac{9S}{200}$:
    $\frac{1}{22.5} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} \approx 0.0444$, $\frac{9}{200} = 0.045$
    Первый быстрее.
    Ответ: Первый велосипедист приехал раньше.
  6. Цена входного билета на стадион составляла 40 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на $25 \%$, а выручка выросла на $12,5 \%$. Какова новая цена?
    Решение: Пусть новая цена $x$, исходное число зрителей $N$:
    $x \cdot 1.25N = 1.125 \cdot 40N \Rightarrow x = \frac{1.125 \cdot 40}{1.25} = 36$
    Ответ: 36 рублей.
  7. Решите уравнение: $(4|x|-3,4)\left(2|x|+7 \frac{1}{3}\right)^{3}=\left(2|x|+7 \frac{1}{3}\right)(4|x|-3,4)^{3}$.
    Решение: Переносим все влево и выносим общие множители:
    $(4|x| - 3.4)(2|x| + \frac{22}{3}) \left[(2|x| + \frac{22}{3})^2 - (4|x| - 3.4)^2\right] = 0$
    Решения:
    1) $4|x| - 3.4 = 0 \Rightarrow |x| = 0.85 \Rightarrow x = \pm 0.85$
    2) $2|x| + \frac{22}{3} = 0$ — нет решений.
    3) $(2|x| + \frac{22}{3})^2 = (4|x| - 3.4)^2$
    Решаем:
    $2|x| + \frac{22}{3} = \pm(4|x| - 3.4)$
    а) $2|x| + \frac{22}{3} = 4|x| - \frac{17}{5} \Rightarrow 2|x| = \frac{161}{15} \Rightarrow |x| = \frac{161}{30} \Rightarrow x = \pm \frac{161}{30}$
    б) Отрицательный корень не подходит.
    Ответ: $x = \pm 0.85$, $x = \pm \frac{161}{30}$.
  8. Дано уравнение: $4 a^{2}(x-1)+9(x+1)=12 a x .$
    А) При каких $a$ уравнение имеет корень, равный $1$?
    Б) Решите уравнение при $a=-2$;
    В) При каких $a$ уравнение имеет более двух корней?
    Решение:
    А) Подставляем $x = 1$:
    $4a^2 \cdot 0 + 9 \cdot 2 = 12a \cdot 1 \Rightarrow 18 = 12a \Rightarrow a = \frac{3}{2}$
    Б) При $a = -2$:
    $4 \cdot 4(x - 1) + 9(x + 1) = -24x \Rightarrow 16x - 16 + 9x + 9 = -24x \Rightarrow 25x - 7 = -24x \Rightarrow 49x = 7 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$
    В) Уравнение линейное: $(4a^2 + 9 - 12a)x = 4a^2 - 9$
    Бесконечно много корней при $4a^2 - 12a + 9 = 0$ и $4a^2 - 9 = 0$:
    $(2a - 3)^2 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$
    Ответ: А) $\frac{3}{2}$; Б) $\frac{1}{7}$; В) $a = \frac{3}{2}$.
  9. 90 одинаковых ластиков стоят 156 рублей с копейками. Найдите стоимость одного такого ластика.
    Решение: Общая сумма $S$ копеек делится на 90:
    $15600 \leq 90k \leq 15699 \Rightarrow 173.33 \leq k \leq 174.43 \Rightarrow k = 174$ коп.
    Ответ: 1 рубль 74 копейки.
  10. В треугольнике АВС угол В равен $100^{\circ}$. На луче СА отмечена точка М так, что МА=AB, и точка А находится между точками М и С. На луче AC отмечена точка $\mathrm{N}$ так, что $\mathrm{CN}=\mathrm{BC}$, и точка $\mathrm{C}$ находится между точками А и N. Найдите градусную меру угла МВN.
    Решение: Рассмотрим треугольники $ABM$ и $BCN$:
    $AB = AM \Rightarrow \triangle ABM$ равнобедренный, $\angle ABM = \angle AMB = 40^\circ$
    $BC = CN \Rightarrow \triangle BCN$ равнобедренный, $\angle BCN = \angle BNC = 40^\circ$
    Угол $MBN$ равен сумме углов $ABM$ и $CBN$:
    $\angle MBN = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$
    Ответ: $80^\circ$.
Материалы школы Юайти