Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 9

ГИМНАЗИЯ №1567

2011 год

Вариант 9

1. Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
2. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится $30 \%$, а во втором - 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
3. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
5. Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
7. Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n ?$
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x||=0$.
10. Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
   Решение: Замена $t = x-1$:
   $\frac{t^2-5t+4}{t-1} = 0 \quad$ (при $x \neq 2$)
   Решаем числитель: $t^2-5t+4=0 \Rightarrow t=1;4$
   Возвращаемся к $x$: $x-1=4 \Rightarrow x=5$ (корень $t=1$ даёт $x=2$, что исключается)
   Ответ: 5.
   
   
2. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится $30 \%$, а во втором - 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
   Решение: Пусть масса первого сплава $m_1$, второго $m_2$:
   $0,3m_1 + 0,5m_2 = 0,35(m_1 + m_2)$
   $0,15m_2 = 0,05m_1 \Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{1}$
   Ответ: $3:1$.
   
   
3. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
   Решение:
   Наташа сделала $\frac{1}{2}$ работы за $2$ часа.
   Совместная скорость: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы/час.
   Оставшаяся часть: $\frac{1}{2} \Rightarrow$ время: $\frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ часа.
   Общее время: $2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.
   Часть Кати: $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9}$.
   Ответ: $\frac{8}{3}$ часа, $\frac{1}{9}$.
   
   
4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
   Решение:
   Углы: $\angle A = 20^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 110^{\circ}$.
   Высота $AH$: $\angle BAH = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$.
   Биссектриса $AL$: $\angle BAL = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
   Угол между ними: $40^{\circ} - 10^{\circ} = 30^{\circ}$.
   Ответ: $30^{\circ}$.
   
   
5. Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
   Решение: Группируем слагаемые:
   $(0,613^3 + 0,387^3) - (0,613^2 + 0,387^2) + 0,613 \cdot 0,387$
   Используя $a + b = 1$ и формулы сокращения:
   $1 \cdot (1 - 3 \cdot 0,613 \cdot 0,387) - (1 - 2 \cdot 0,613 \cdot 0,387) + 0,613 \cdot 0,387 = 0$
   Ответ: 0.
   
   
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
   Решение:
   Приведём к виду $(a^2 - 81)x = a^2 - 18a + 81$
   А) Нет корней при $a^2 -81=0$ и $a^2 -18a +81 \neq 0 \Rightarrow a=-9$
   Б) Бесконечно корней при $a=9$
   В) Один корень при $a \neq \pm9$
   Ответ: А) $a=-9$; Б) $a=9$; В) $a \neq \pm9$.
   
   
7. Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
   Решение:
   $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 49 - 24 = 25$
   $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = -343 + 252 = -91$
   Сумма: $25 - 91 = -66$
   Ответ: $-66$.
   
   
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n ?$
   Решение: $n = 7k + 3$
   $n^2 + 2n \equiv 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$
   Ответ: 1.
   
   
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x||=0$
   Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
   $2x^3(x^2 - 121) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm11$
   $|33 - 3|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 11 \Rightarrow x = \pm11$
   Общие решения: $x = \pm11$
   Ответ: $\pm11$.
   
   
10. Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$
    Решение: Числитель:
    $(2a+3 - a-2)[(2a+3)^2 + (2a+3)(a+2) + (a+2)^2] = (a+1)(7a^2 +23a +19)$
    Знаменатель: $(a+1)(7a^2 +23a +19)$
    Сокращаем: $\frac{(a+1)(7a^2 +23a +19)}{(a+1)(7a^2 +23a +19)} = 1$
    Ответ: 1.