8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 8

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 8



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+2)^{2}-10(x+2)+9}{x-7}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится $28 \%$, а во втором $-40 \%$ меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30\%$ меди?
  3. Соня делает некоторую работу за 4 часа, Ира - за 6 часов, а Вероника Маврикиевна за 3 часа. После того, как Ира выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Соня и Вероника Маврикиевна . За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Соня?
  4. В треугольнике QPT $\angle Q: \angle P=3: 4, \angle P: \angle T=4: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,724^{3}-0,724^{2}+0,724 \cdot 0,276-0,276^{2}+0,276^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=12(3 x+3-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $f+t=-8, f \cdot t=15$. Найдите, чему равна величина: $f^{2}+f^{3}+t^{2}+t^{3}$
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+2 n ?$
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-192 x^{3}\right)^{4}+|48-6| x \|=0$
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+1)^{3}+(2 a-3)^{3}}{3\left(3 a^{3}-2 a^{2}\right)-9\left(3 a^{2}-2 a\right)+39 a-26}$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+2)^{2}-10(x+2)+9}{x-7}=0$
    Решение: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Решим уравнение в числителе:
    Пусть $y = x + 2$, тогда:
    $y^2 - 10y + 9 = 0$
    $D = 100 - 36 = 64$
    $y = \frac{10 \pm 8}{2} = 9$ или $1$
    Возвращаемся к $x$:
    $x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7$ (не подходит, так как знаменатель обращается в ноль)
    $x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
    Ответ: $-1$.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится $28 \%$, а во втором $-40 \%$ меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?
    Решение: Используем правило смешения ("метод рыбки"):
    Разница между $40\%$ и $30\%$: $40 - 30 = 10\%$
    Разница между $30\%$ и $28\%$: $30 - 28 = 2\%$
    Отношение масс сплавов: $10 : 2 = 5 : 1$
    Ответ: $5:1$.
  3. Соня делает некоторую работу за 4 часа, Ира - за 6 часов, а Вероника Маврикиевна за 3 часа. После того, как Ира выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Соня и Вероника Маврикиевна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Соня?
    Решение:
    Скорости работы: Соня — $\frac{1}{4}$, Ира — $\frac{1}{6}$, Вероника — $\frac{1}{3}$.
    Ира выполнила $\frac{2}{5}$ работы за время $t_1 = \frac{2/5}{1/6} = \frac{12}{5}$ часа.
    Осталось $\frac{3}{5}$ работы. Совместная скорость: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы/час.
    Время на оставшуюся часть: $t_2 = \frac{3/5}{3/4} = \frac{4}{5}$ часа.
    Общее время: $\frac{12}{5} + \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$ часа.
    Часть Сони: $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
    Ответ: $3,2$ часа, $\frac{1}{5}$.
  4. В треугольнике QPT $\angle Q: \angle P=3: 4, \angle P: \angle T=4: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение: Соотношение углов $Q:P:T = 3:4:11$. Сумма углов: $18k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 10^{\circ}$.
    Углы: $Q = 30^{\circ}$, $P = 40^{\circ}$, $T = 110^{\circ}$. Меньший угол — $Q$.
    Биссектриса делит угол $Q$ на $15^{\circ}$ и $15^{\circ}$. Высота образует угол $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ с основанием.
    Угол между высотой и биссектрисой: $60^{\circ} - 15^{\circ} = 45^{\circ}$.
    Ответ: $45^{\circ}$.
  5. Найдите значение выражения: $0,724^{3}-0,724^{2}+0,724 \cdot 0,276-0,276^{2}+0,276^{3}$
    Решение: Группируем слагаемые:
    $(0,724^3 + 0,276^3) + (0,724 \cdot 0,276) - (0,724^2 + 0,276^2)$
    Используем формулы:
    $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
    $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
    Подставляем $a = 0,724$, $b = 0,276$:
    $(0,724 + 0,276)(0,724^2 - 0,724 \cdot 0,276 + 0,276^2) + 0,724 \cdot 0,276 - [(0,724 + 0,276)^2 - 2 \cdot 0,724 \cdot 0,276]$
    Упрощаем:
    $1 \cdot (0,724^2 - 0,724 \cdot 0,276 + 0,276^2) + 0,724 \cdot 0,276 - [1 - 2 \cdot 0,724 \cdot 0,276] = 0,724^2 + 0,276^2 - 0,724 \cdot 0,276 + 0,724 \cdot 0,276 - 1 + 2 \cdot 0,724 \cdot 0,276 = 0,724^2 + 0,276^2 - 1 + 2 \cdot 0,724 \cdot 0,276 = (0,724 + 0,276)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
    Ответ: $0$.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=12(3 x+3-a)$. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение: Приведем уравнение к виду:
    $(a^2 - 36)x = a^2 - 12a + 36$
    А) Нет корней при $a^2 - 36 = 0$ и $a^2 - 12a + 36 \neq 0$:
    $a = 6$: $0 \cdot x = 0$ — бесконечно решений (не подходит)
    $a = -6$: $0 \cdot x = 144 \neq 0$ — нет решений.
    Б) Один корень при $a^2 - 36 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm6$.
    В) Бесконечно решений при $a = 6$.
    Ответ: А) $a = -6$; Б) $a \neq \pm6$; В) $a = 6$.
  7. Пусть $f + t = -8$, $f \cdot t = 15$. Найдите величину: $f^{2} + f^{3} + t^{2} + t^{3}$
    Решение:
    $f^2 + t^2 = (f + t)^2 - 2ft = (-8)^2 - 2 \cdot 15 = 64 - 30 = 34$
    $f^3 + t^3 = (f + t)^3 - 3ft(f + t) = (-8)^3 - 3 \cdot 15 \cdot (-8) = -512 + 360 = -152$
    Сумма: $34 + (-152) = -118$
    Ответ: $-118$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает остаток 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2} + 2n$?
    Решение: $n = 5k + 4$
    $n^2 + 2n = (5k + 4)^2 + 2(5k + 4) = 25k^2 + 40k + 16 + 10k + 8 = 25k^2 + 50k + 24$
    Остаток от деления на 5: $24 \mod 5 = 4$
    Ответ: $4$.
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5} - 192 x^{3}\right)^{4} + |48 - 6| x ||=0$
    Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при равенстве каждого нулю:
    1) $3x^5 - 192x^3 = 0 \Rightarrow 3x^3(x^2 - 64) = 0 \Rightarrow x = 0$, $x = 8$, $x = -8$
    2) $|48 - 6|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 8 \Rightarrow x = 8$, $x = -8$
    Общие решения: $x = 8$, $x = -8$
    Ответ: $8$, $-8$.
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+1)^{3} + (2a-3)^{3}}{3(3a^{3} - 2a^{2}) - 9(3a^{2} - 2a) + 39a - 26}$
    Решение: Числитель:
    $(a+1)^3 + (2a-3)^3 = (3a - 2)(a^2 + 2a + 1 - (a+1)(2a-3) + (2a-3)^2)$
    Знаменатель:
    $9a^3 - 6a^2 - 27a^2 + 18a + 39a - 26 = 9a^3 - 33a^2 + 57a - 26$
    Делим числитель и знаменатель на $(3a - 2)$:
    Числитель: $(3a - 2)(a^2 + 2a + 1 - 2a^2 + 3a - 2a + 3 + 4a^2 - 12a + 9) = (3a - 2)(3a^2 - 9a + 13)$
    Знаменатель: $(3a - 2)(3a^2 - 11a + 13)$
    Сокращаем: $\frac{3a^2 - 9a + 13}{3a^2 - 11a + 13}$
    Ответ: $\frac{3a^2 - 9a + 13}{3a^2 - 11a + 13}$.
Материалы школы Юайти