Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 7

ГИМНАЗИЯ №1567

2011 год

Вариант 7

1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится 20\%, а во втором - 45% железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
4. В треугольнике ОDH $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x||=0$.
10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
   Решение: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим числитель:
   $(x+1)^2 -5(x+1) +4 = 0$
   Замена $t = x+1$:
   $t^2 -5t +4 = 0 \Rightarrow t = 1$ или $t = 4$
   Возвращаемся к $x$:
   $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$; \quad $x+1 = 4 \Rightarrow x = 3$
   Проверяем знаменатель: $x -3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Итоговый корень: $x = 0$.
   Ответ: 0.
   
   
2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится 20\%, а во втором - 45% железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
   Решение: Используем правило смешения:
   $\frac{m_1}{m_2} = \frac{c_2 - c}{c - c_1} = \frac{45 -30}{30 -20} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
   Ответ: 3:2.
   
   
3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
   Решение: Настя выполнила $\frac{1}{2}$ работы за $3$ часа. Совместная производительность:
   $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час.
   Оставшуюся $\frac{1}{2}$ работы выполнят за $0,5$ часа. Общее время: $3 + 0,5 = 3,5$ часа.
   Люба выполнила: $\frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{1}{6}$ работы.
   Ответ: 3,5 часа; $\frac{1}{6}$.
   
   
4. В треугольнике ОDH $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
   Решение: Сумма углов треугольника: $3k +5k +10k =18k =180^{\circ} \Rightarrow k=10^{\circ}$.
   Углы: $\angle O =30^{\circ}$, $\angle D=50^{\circ}$, $\angle H=100^{\circ}$.
   Биссектриса делит $\angle O$ на $15^{\circ}$, высота образует $90^{\circ}$ с противоположной стороной. Угол между ними: $90^{\circ} -15^{\circ} =75^{\circ}$.
   Ответ: $75^{\circ}$.
   
   
5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
   Решение: Группируем слагаемые:
   $(0,395^3 +0,605^3) + (-0,395^2 -0,605^2) +0,395 \cdot0,605$
   Используем формулы суммы кубов и разности квадратов:
   $(0,395 +0,605)(0,395^2 -0,395 \cdot0,605 +0,605^2) - (0,395^2 +0,605^2) +0,395 \cdot0,605 =0$
   Ответ: 0.
   
   
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
   Решение: Приведем уравнение к виду:
   $(a^2 -64)x =a^2 -16a +64$
   А) Нет корней при $a^2 -64=0$ и $a^2 -16a +64 \neq0 \Rightarrow a=-8$.
   Б) Один корень при $a^2 -64 \neq0 \Rightarrow a \neq \pm8$.
   В) Бесконечно корней при $a=8$.
   Ответ: А) $a=-8$; Б) $a \neq \pm8$; В) $a=8$.
   
   
7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
   Решение: Выразим через $p+q$ и $pq$:
   $p^2 +q^2 = (p+q)^2 -2pq =36 -16=20$
   $p^3 +q^3 = (p+q)^3 -3pq(p+q) =-216 +144=-72$
   Сумма: $20 -72 =-52$
   Ответ: -52.
   
   
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
   Решение: Представим $n=7k+3$:
   $n^2 +5n = (7k+3)^2 +5(7k+3) =49k^2 +42k +9 +35k +15 =49k^2 +77k +24$
   Остаток от деления на 7: $24 \mod7 =3$
   Ответ: 3.
   
   
9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x||=0$
   Решение: Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при:
   $3x^5 -243x^3 =0 \Rightarrow x^3(x^2 -81)=0 \Rightarrow x=0, \pm9$
   $|45 -5|x||=0 \Rightarrow |x|=9 \Rightarrow x=\pm9$
   Общие решения: $x=\pm9$
   Ответ: $\pm9$.
   
   
10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$
    Решение: Упростим числитель и знаменатель:
    Числитель: $(2a+1)(9a^2 +9a +7)$
    Знаменатель: $26a^3 +51a^2 +33a +7 = (2a+1)(13a^2 +19a +7)$
    После сокращения: $\frac{9a^2 +9a +7}{13a^2 +19a +7}$
    Ответ: $\frac{9a^2 +9a +7}{13a^2 +19a +7}$.