Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 6

ГИМНАЗИЯ №1567

2011 год

Вариант 6

1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - 35% серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
4. В треугольнике MNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3}$.
8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 1 . Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$ ?
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
   Решение: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим числитель:
   $(x-2)^2 -10(x-2) +9 = 0$
   Замена $y = x-2$:
   $y^2 -10y +9 = 0 \Rightarrow y = 9$ или $y = 1$
   Возвращаемся к $x$:
   $x-2=9 \Rightarrow x=11$; $x-2=1 \Rightarrow x=3$ (не подходит, так как $x=3$ обнуляет знаменатель).
   Ответ: 11.
   
   
2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - $35\%$ серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
   Решение: Пусть масса первого сплава $m$, второго — $n$. Составим уравнение для серебра:
   $0,15m + 0,35n = 0,3(m + n)$
   $0,15m + 0,35n = 0,3m + 0,3n \Rightarrow 0,05n = 0,15m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{3}$
   Ответ: $1:3$.
   
   
3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2/5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
   Решение: Лена выполнила $\frac{2}{5}$ работы за время $t = \frac{2/5}{1/3} = \frac{6}{5}$ ч. Осталось $\frac{3}{5}$ работы. Совместная скорость работы:
   $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час.
   Время на оставшуюся часть: $\frac{3}{5}$ ч. Общее время: $\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$ ч. Часть Маши: $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$.
   Ответ: за $\frac{9}{5}$ ч, Маша выполнила $\frac{1}{10}$ работы.
   
   
4. В треугольнике MNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
   Решение: Углы пропорциональны $2:3:13$. Сумма углов: $2x + 3x + 13x = 18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$. Углы: $20^{\circ}, 30^{\circ}, 130^{\circ}$. Меньший угол $M = 20^{\circ}$. Биссектриса делит угол $M$ на $10^{\circ}$, высота образует $90^{\circ}$ с противоположной стороной. Угол между ними: $90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.
   Ответ: $80^{\circ}$.
   
   
5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
   Решение: Заметим, что $0,453 + 0,547 = 1$. Преобразуем выражение:
   $(0,453^3 + 0,547^3) - (0,453^2 + 0,547^2) + 0,453 \cdot 0,547$
   Используя формулы суммы кубов и разности квадратов:
   $(0,453 + 0,547)(0,453^2 - 0,453 \cdot 0,547 + 0,547^2) - (0,453^2 + 0,547^2) + 0,453 \cdot 0,547 = 0$.
   Ответ: 0.
   
   
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все значения параметра $a$:
   Решение: Приведем к виду $(a^2 - 49)x = a^2 - 14a + 49$.
   А) Нет корней при $a = -7$ (уравнение противоречиво).
   Б) Один корень при $a \neq \pm7$.
   В) Бесконечно много корней при $a = 7$.
   Ответ: А) $-7$; Б) $a \neq \pm7$; В) $7$.
   
   
7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите величину: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3}$
   Решение:
   $m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn = 25 - 12 = 13$
   $m^3 + n^3 = (m+n)^3 - 3mn(m+n) = -125 + 90 = -35$
   Сумма: $13 - 35 = -22$
   Ответ: $-22$.
   
   
8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает остаток 1. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3n$?
   Решение: $n \equiv 1 \mod 5 \Rightarrow n^2 + 3n \equiv 1 + 3 \equiv 4 \mod 5$.
   Ответ: 4.
   
   
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
   Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
   $2x^3(x^2 - 144) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm12$
   $|48 - 4|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 12 \Rightarrow x = \pm12$
   Общее решение: $x = \pm12$.
   Ответ: $\pm12$.
   
   
10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$
    Решение: Числитель:
    $(a+2 + 2a+1)((a+2)^2 - (a+2)(2a+1) + (2a+1)^2) = 3(a+1)(3a^2 + 3a + 3)$
    Знаменатель:
    $9(a^3 + 2a^2 + 2a + 1) = 9(a+1)(a^2 + a + 1)$
    Сокращаем: $\frac{9(a+1)(a^2 + a + 1)}{9(a+1)(a^2 + a + 1)} = 1$.
    Ответ: 1.