Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 5

ГИМНАЗИЯ №1567

2011 год

Вариант 5

1. Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
2. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30\%, а во втором - 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
3. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
5. Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
7. Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n ?$
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x \|=0$.
10. Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
   Решение: Замена $t = x - 1$. Уравнение примет вид:
   $\frac{t^{2} - 5t + 4}{t - 1} = 0$
   Числитель раскладывается: $(t-1)(t-4) = 0$, но $t \neq 1$ (знаменатель).
   Решение: $t = 4 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5$.
   Проверка: $5 - 2 = 3 \neq 0$.
   Ответ: 5.
   
   
2. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30\%, а во втором - 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
   Решение: По правилу смешивания ("золотое сечение"):
   $\frac{m_1}{m_2} = \frac{50 - 35}{35 - 30} = \frac{15}{5} = 3:1$
   Ответ: 3:1.
   
   
3. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
   Решение: Наташа выполнила $\frac{1}{2}$ работы за $2$ часа. Совместная производительность:
   $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы/час.
   Оставшаяся часть: $\frac{1}{2}$. Время: $\frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$ часа.
   Общее время: $2 + \frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$ часа.
   Катя выполнила: $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9}$ работы.
   Ответ: $2\frac{2}{3}$ часа, $\frac{1}{9}$.
   
   
4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
   Решение: Углы $\angle A : \angle B : \angle C = 2 : 5 : 11$. Сумма углов:
   $2k + 5k + 11k = 18k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 10^{\circ}$.
   Углы: $20^{\circ}, 50^{\circ}, 110^{\circ}$. Меньший угол $A = 20^{\circ}$.
   Биссектриса делит угол $A$ на $10^{\circ}$, высота образует угол $90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$.
   Разница: $70^{\circ} - 10^{\circ} = 60^{\circ}$.
   Ответ: $60^{\circ}$.
   
   
5. Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
   Решение: Используем тождество:
   $a^3 + b^3 - a^2 - b^2 + ab = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a^2 + b^2) + ab = 0$ при $a + b = 1$.
   Ответ: 0.
   
   
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
   Решение: Приведем к виду $(a^2 - 81)x = a^2 - 18a + 81$.
   А) Нет корней при $a = -9$ (уравнение $0x = 324$).
   Б) Один корень при $a \neq \pm9$.
   В) Бесконечно корней при $a = 9$.
   Ответ: А) $a = -9$; Б) $a \neq \pm9$; В) $a = 9$.
   
   
7. Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
   Решение:
   $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 49 - 24 = 25$.
   $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = -343 + 252 = -91$.
   Сумма: $25 - 91 = -66$.
   Ответ: $-66$.
   
   
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n ?$
   Решение: $n = 7k + 3$.
   $n^2 + 2n = (7k + 3)^2 + 2(7k + 3) \equiv 9 + 6 \equiv 15 \equiv 1 \mod 7$.
   Ответ: 1.
   
   
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x \|=0$.
   Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
   $2x^5 - 242x^3 = 0 \Rightarrow x = 0, \pm11$.
   $|33 - 3|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 11 \Rightarrow x = \pm11$.
   Ответ: $\pm11$.
   
   
10. Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.
    Решение: Числитель:
    $(2a + 3 - a - 2)[(2a + 3)^2 + (2a + 3)(a + 2) + (a + 2)^2] = (a + 1)(7a^2 + 23a + 19)$.
    Знаменатель:
    $(a + 1)(7a^2 + 23a + 19)$.
    Сокращаем на $(a + 1)(7a^2 + 23a + 19)$.
    Ответ: 1.