8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 4

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 4



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+2)^{2}-10(x+2)+9}{x-7}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится 28\%, а во втором - 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ меди?
  3. Соня делает некоторую работу за 4 часа, Ира - за 6 часов, а Вероника Маврикиевна за 3 часа. После того, как Ира выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Соня и Вероника Маврикиевна . За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Соня?
  4. В треугольнике QPT $\angle Q: \angle P=3: 4, \angle P: \angle T=4: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,724^{3}-0,724^{2}+0,724 \cdot 0,276-0,276^{2}+0,276^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=12(3 x+3-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $f+t=-8, f \cdot t=15$. Найдите, чему равна величина: $f^{2}+f^{3}+t^{2}+t^{3}$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-192 x^{3}\right)^{4}+|48-6| x \|=0$
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+1)^{3}+(2 a-3)^{3}}{3\left(3 a^{3}-2 a^{2}\right)-9\left(3 a^{2}-2 a\right)+39 a-26}$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+2)^{2}-10(x+2)+9}{x-7}=0$
    Решение: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение числителя:
    $(x+2)^2 - 10(x+2) + 9 = 0$
    Замена $y = x + 2$:
    $y^2 - 10y + 9 = 0$
    Дискриминант $D = 100 - 36 = 64$, корни $y = 9$ и $y = 1$.
    Возвращаемся к исходной переменной:
    $x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7$ (не подходит, так как знаменатель обращается в ноль)
    $x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
    Ответ: $-1$.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится 28\%, а во втором - 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ меди?
    Решение: Пусть масса первого сплава $m_1$, второго $m_2$. Уравнение для содержания меди:
    $0,28m_1 + 0,40m_2 = 0,30(m_1 + m_2)$
    Упрощаем:
    $-0,02m_1 + 0,10m_2 = 0 \Rightarrow 2m_1 = 10m_2 \Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{1}$
    Ответ: $5:1$.
  3. Соня делает некоторую работу за 4 часа, Ира - за 6 часов, а Вероника Маврикиевна за 3 часа. После того, как Ира выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Соня и Вероника Маврикиевна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Соня?
    Решение: Ира выполнила $\frac{2}{5}$ работы за $\frac{2/5}{1/6} = 2,4$ часа. Осталось $\frac{3}{5}$ работы. Совместная скорость:
    $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы в час.
    Время на оставшуюся часть: $\frac{3/5}{3/4} = 0,8$ часа. Общее время: $2,4 + 0,8 = 3,2$ часа.
    Соня сделала $\frac{1}{4} \cdot 0,8 = \frac{1}{5}$ работы.
    Ответ: $3,2$ часа, $\frac{1}{5}$.
  4. В треугольнике QPT $\angle Q: \angle P=3: 4, \angle P: \angle T=4: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение: Углы $\angle Q : \angle P : \angle T = 3 : 4 : 11$. Сумма углов $18k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 10^{\circ}$.
    Углы: $\angle Q = 30^{\circ}$, $\angle P = 40^{\circ}$, $\angle T = 110^{\circ}$. Биссектриса делит $\angle Q$ на $15^{\circ}$ и $15^{\circ}$. Высота образует угол $90^{\circ}$ с противоположной стороной. Угол между высотой и биссектрисой равен $15^{\circ} - 10^{\circ} = 5^{\circ}$.
    Ответ: $5^{\circ}$.
  5. Найдите значение выражения: $0,724^{3}-0,724^{2}+0,724 \cdot 0,276-0,276^{2}+0,276^{3}$
    Решение: Группируем слагаемые:
    $(0,724^3 + 0,276^3) + (-0,724^2 - 0,276^2) + (0,724 \cdot 0,276)$
    Используем формулу суммы кубов и упрощаем:
    $(0,724 + 0,276)(0,724^2 - 0,724 \cdot 0,276 + 0,276^2) - (0,724^2 + 0,276^2) + 0,724 \cdot 0,276 = 0$
    Ответ: $0$.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=12(3 x+3-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение: Приводим уравнение к виду $(a^2 - 36)x = a^2 + 36 - 12a$.
    А) При $a = -6$ уравнение не имеет корней.
    Б) При $a \neq \pm6$ уравнение имеет один корень.
    В) При $a = 6$ уравнение имеет бесконечно много решений.
    Ответ: А) $-6$; Б) $a \neq \pm6$; В) $6$.
  7. Пусть $f + t = -8$, $f \cdot t = 15$. Найдите, чему равна величина: $f^{2}+f^{3}+t^{2}+t^{3}$.
    Решение: Используем формулы:
    $f^2 + t^2 = (f + t)^2 - 2ft = 64 - 30 = 34$
    $f^3 + t^3 = (f + t)(f^2 - ft + t^2) = (-8)(34 - 15) = -152$
    Сумма: $34 - 152 = -118$
    Ответ: $-118$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
    Решение: $n = 5k + 4$. Вычисляем:
    $n^2 + 2n = (5k + 4)^2 + 2(5k + 4) = 25k^2 + 50k + 24 \equiv 24 \mod 5 \equiv 4 \mod 5$
    Ответ: $4$.
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-192 x^{3}\right)^{4}+|48-6| x \|=0$
    Решение: Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только если каждое равно нулю:
    $3x^3(x^2 - 64) = 0 \Rightarrow x = \pm8$
    $|48 - 6|x|| = 0 \Rightarrow x = \pm8$
    Ответ: $\pm8$.
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+1)^{3}+(2 a-3)^{3}}{3\left(3 a^{3}-2 a^{2}\right)-9\left(3 a^{2}-2 a\right)+39 a-26}$
    Решение: Числитель: $(3a - 2)(3a^2 - 9a + 13)$
    Знаменатель: $(3a - 2)(3a^2 - 9a + 13)$
    Дробь сокращается до $1$.
    Ответ: $1$.
Материалы школы Юайти