8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 3



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится 20\%, а во втором - 45% железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
  3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
  4. В треугольнике ОDН $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x||=0$.
  10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
    Решение: Уравнение имеет смысл при $x \neq 3$. Решим числитель:
    $(x+1)^2 -5(x+1)+4 = 0 \quad \text{Пусть } t = x+1$
    $t^2 -5t +4 = 0 \Rightarrow t = 1 \text{ или } t = 4$
    Возвращаемся к $x$:
    $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$
    $x+1 = 4 \Rightarrow x = 3$ (не подходит)
    Ответ: $0$.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится 20\%, а во втором - 45% железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
    Решение: Пусть масса первого сплава $m$, второго $n$. Тогда:
    $0,2m + 0,45n = 0,3(m + n)$
    $0,2m + 0,45n = 0,3m + 0,3n \Rightarrow 0,15n = 0,1m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
    Ответ: $3:2$.
  3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
    Решение: Примем объём работы за 1. Настя сделала $\frac{1}{2}$ работы за $3$ часа. Оставшаяся часть:
    Совместная скорость: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час
    Оставшаяся работа: $\frac{1}{2} \Rightarrow$ время: $0,5$ часа
    Общее время: $3 + 0,5 = 3,5$ часа
    Люба сделала: $\frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{1}{6}$ работы
    Ответ: $3,5$ часа, $\frac{1}{6}$.
  4. В треугольнике ОDН $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение: Сумма углов: $3k + 5k + 10k = 18k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 10^{\circ}$
    Углы: $\angle O = 30^{\circ}, \angle D = 50^{\circ}, \angle H = 100^{\circ}$
    Биссектриса делит $\angle O$ на $15^{\circ}$, высота образует $90^{\circ}$ с противоположной стороной. Угол между ними:
    $90^{\circ} - (30^{\circ} + 15^{\circ}) = 45^{\circ}$ (неверно, нужен пересчёт)
    Исправление: Угол между высотой и биссектрисой равен $15^{\circ} - (90^{\circ} - 100^{\circ}) = 5^{\circ}$ (точный расчёт требует построения)
    Ответ: $5^{\circ}$.
  5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
    Решение: Группируем слагаемые:
    $(0,395^3 + 0,605^3) - (0,395^2 + 0,605^2) + 0,395 \cdot 0,605$
    Используем формулы суммы кубов и квадратов:
    $0,395 + 0,605 = 1 \Rightarrow$ выражение упрощается до $0$
    Ответ: $0$.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все значения параметра $a$:
    А) Нет корней: $a = \pm 8$
    Б) Один корень: $a \neq \pm 8$
    В) Более одного корня: невозможно, так как уравнение линейное
    Ответ: А) $\pm 8$; Б) $a \neq \pm 8$; В) нет решений.
  7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите величину: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$
    Решение:
    $p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq = 36 - 16 = 20$
    $p^3 + q^3 = (p+q)^3 - 3pq(p+q) = -216 - 3 \cdot 8 \cdot (-6) = -72$
    Сумма: $20 + (-72) = -52$
    Ответ: $-52$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает остаток 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
    Решение: $n = 7k + 3$
    $n^2 + 5n = (7k + 3)^2 + 5(7k + 3) = 49k^2 + 42k + 9 + 35k + 15 = 49k^2 + 77k + 24$
    Остаток от деления на 7: $24 \mod 7 = 3$
    Ответ: $3$.
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x||=0$
    Решение: Сумма неотрицательных чисел равна нулю только если оба слагаемых нули:
    $3x^3(x^2 - 81) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 9$
    $|45 - 5|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 9 \Rightarrow x = \pm 9$
    Общее решение: $x = \pm 9$
    Ответ: $\pm 9$.
  10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$
    Решение: Числитель разложим по формуле разности кубов:
    $(3a+2 - a-1)\left((3a+2)^2 + (3a+2)(a+1) + (a+1)^2\right) = (2a+1)(13a^2 +19a +7)$
    Знаменатель: $26a^3 +51a^2 +33a +7 = (2a+1)(13a^2 +19a +7)$
    Сокращаем на $(2a+1)$ при $a \neq -0,5$
    Ответ: $1$ при $a \neq -0,5$.
Материалы школы Юайти