8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 2



  1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - $35 \%$ серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
  3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
  4. В треугольнике МNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3}$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 1. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
    Решение: Замена $t = x - 2$, тогда уравнение примет вид:
    $\frac{t^2 - 10t + 9}{t - 1} = 0$
    Решим числитель: $t^2 - 10t + 9 = 0 \Rightarrow t = 9$ или $t = 1$ (корень $t=1$ исключается, так как обращает знаменатель в ноль).
    Возвращаемся к исходной переменной: $x - 2 = 9 \Rightarrow x = 11$.
    Ответ: 11.

  2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - $35 \%$ серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
    Решение: Пусть масса первого сплава $m$, второго — $n$. Составим уравнение:
    $\frac{0,15m + 0,35n}{m + n} = 0,3 \Rightarrow 0,15m + 0,35n = 0,3(m + n)$
    $0,15m = 0,05n \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{3}$.
    Ответ: $1:3$.

  3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
    Решение:
    • Лена выполнила $\frac{2}{5}$ работы за $t_1 = \frac{2/5}{1/3} = \frac{6}{5}$ часа.
    • Оставшаяся работа: $\frac{3}{5}$.
    • Совместная скорость: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час.
    • Время на оставшуюся часть: $t_2 = \frac{3/5}{1} = \frac{3}{5}$ часа.
    • Общее время: $\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ часа.
    • Часть Маши: $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$.
    Ответ: $\frac{9}{5}$ часа, $\frac{1}{10}$.

  4. В треугольнике МNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение:
    • Углы: $\angle M = 20^{\circ}$, $\angle N = 30^{\circ}$, $\angle K = 130^{\circ}$.
    • Биссектриса делит $\angle M$ на $10^{\circ}$ и $10^{\circ}$.
    • Высота образует угол $70^{\circ}$ со стороной $MN$.
    • Угол между высотой и биссектрисой: $70^{\circ} - 10^{\circ} = 60^{\circ}$.
    Ответ: $60^{\circ}$.

  5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
    Решение: Используем тождество:
    $a^3 + b^3 + ab - a^2 - b^2 = 0$ при $a + b = 1$.
    Ответ: 0.

  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение:
    • Приведем к виду: $(a^2 - 49)x = a^2 + 49 - 14a$.
    • А) Нет корней при $a = -7$.
    • Б) Один корень при $a \neq \pm7$.
    • В) Бесконечно много корней при $a = 7$.
    Ответ: А) $a = -7$; Б) $a \neq \pm7$; В) $a = 7$.

  7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3}$.
    Решение:
    • $m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 25 - 12 = 13$.
    • $m^3 + n^3 = (m + n)^3 - 3mn(m + n) = -125 + 90 = -35$.
    • Сумма: $13 - 35 = -22$.
    Ответ: $-22$.

  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 1. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$ ?
    Решение: Пусть $n = 5k + 1$, тогда:
    $n^2 + 3n = (25k^2 + 10k + 1) + (15k + 3) \equiv 1 + 3 = 4 \pmod{5}$.
    Ответ: 4.

  9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
    Решение:
    • $2x^3(x^2 - 144) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm12$.
    • $|48 - 4|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 12 \Rightarrow x = \pm12$.
    Ответ: $x = \pm12$.

  10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$.
    Решение:
    • Числитель: $(3a + 3)(3a^2 + 3a + 3) = 9(a + 1)(a^2 + a + 1)$.
    • Знаменатель: $9(a + 1)(a^2 + a + 1)$.
    Ответ: 1.
Материалы школы Юайти