8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 15

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 15



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится $20 \%$, а во втором - $45 \%$ железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
  3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
  4. В треугольнике ОDH $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x \|=0$.
  10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
    Решение: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
    Решим числитель:
    $(x+1)^2 -5(x+1) +4 = 0$
    Замена $y = x+1$:
    $y^2 -5y +4 = 0 \Rightarrow y = 4$ или $y = 1$
    Возвращаемся к $x$:
    $x+1=4 \Rightarrow x=3$ (не подходит, так как знаменатель обращается в ноль)
    $x+1=1 \Rightarrow x=0$
    Ответ: 0.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится $20 \%$, а во втором - $45 \%$ железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
    Решение: Используем правило смешения ("креста"):
    $\frac{45 - 30}{30 - 20} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
    Ответ: 3:2.
  3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
    Решение:
    Настя выполнила $\frac{1}{2}$ работы за $3$ часа. Совместная производительность:
    $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час.
    Оставшуюся $\frac{1}{2}$ работы выполнили за $0,5$ часа.
    Общее время: $3 + 0,5 = 3,5$ часа.
    Часть Любы: $\frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{1}{6}$.
    Ответ: 3,5 часа; $\frac{1}{6}$.
  4. В треугольнике ОDH $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение: Углы треугольника:
    $3:5:10 \Rightarrow 30^{\circ}, 50^{\circ}, 100^{\circ}$.
    Биссектриса делит угол $30^{\circ}$ на $15^{\circ}$.
    Высота образует угол $90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$ с основанием.
    Угол между высотой и биссектрисой: $40^{\circ} - 15^{\circ} = 25^{\circ}$.
    Ответ: $25^{\circ}$.
  5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
    Решение: Группируем слагаемые:
    $(0,395^3 + 0,605^3) - (0,395^2 + 0,605^2) + 0,395 \cdot 0,605$
    Используя формулы суммы кубов и разности квадратов:
    $0,395 + 0,605 = 1 \Rightarrow$ выражение упрощается до $0$.
    Ответ: 0.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение: Приведем к виду $(a^2 -64)x = a^2 +64 -16a$.
    А) Нет корней при $a = -8$.
    Б) Один корень при $a \neq \pm8$.
    В) Бесконечно корней при $a = 8$.
    Ответ: А) $a = -8$; Б) $a \neq \pm8$; В) $a = 8$.
  7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
    Решение:
    $p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq = 36 - 16 = 20$
    $p^3 + q^3 = (p+q)^3 - 3pq(p+q) = -216 + 144 = -72$
    Сумма: $20 - 72 = -52$
    Ответ: $-52$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
    Решение: $n \equiv 3 \pmod{7}$
    $n^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$
    $5n \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$
    Сумма: $2 + 1 = 3 \pmod{7}$
    Ответ: 3.
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5 x|=0$
    Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только если каждое равно нулю.
    $3x^3(x^2 -81) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm9$
    $45 -5x = 0 \Rightarrow x = 9$
    Ответ: 9.
  10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$
    Решение: Числитель: $(2a+1)(13a^2 +19a +7)$
    Знаменатель: $(2a+1)(13a^2 +19a +7)$
    Дробь сокращается до 1.
    Ответ: 1.
Материалы школы Юайти