8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 14

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 14



  1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - $35\%$ серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
  3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
  4. В треугольнике MNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3} .$
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке $1 .$ Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
    Решение: Числитель должен равняться нулю, а знаменатель — нет. Сделаем замену $t = x - 2$:
    $t^2 - 10t + 9 = 0 \Rightarrow t = 9$ или $t = 1 \Rightarrow x = 11$ или $x = 3$.
    Проверка: $x = 3$ обращает знаменатель в ноль, не подходит.
    Ответ: 11.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - 35% серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
    Решение: По правилу смешивания:
    $\frac{m_1}{m_2} = \frac{35 - 30}{30 - 15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
    Ответ: 1:3.
  3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
    Решение: Лена выполнила $\frac{2}{5}$ работы за $\frac{2/5}{1/3} = \frac{6}{5}$ часа. Осталось $\frac{3}{5}$ работы. Совместная производительность: $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час.
    Оставшаяся часть выполнена за $\frac{3}{5}$ часа. Общее время: $\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$ часа.
    Маша сделала $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$ работы.
    Ответ: 1,8 часа; $\frac{1}{10}$.
  4. В треугольнике MNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение: Сумма углов: $2x + 3x + 13x = 18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$. Углы: $20^{\circ}, 30^{\circ}, 130^{\circ}$.
    Биссектриса делит угол $20^{\circ}$ на $10^{\circ}$, высота образует угол $90^{\circ}$ с противоположной стороной. Угол между ними: $90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.
    Ответ: $80^{\circ}$.
  5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
    Решение: Преобразуем выражение:
    $(0,453^3 + 0,547^3) - (0,453^2 + 0,547^2) + 0,453 \cdot 0,547 = (0,453 + 0,547)(0,453^2 - 0,453 \cdot 0,547 + 0,547^2) - (0,453^2 + 0,547^2) + 0,453 \cdot 0,547 = 1 \cdot (0,453^2 - 0,453 \cdot 0,547 + 0,547^2) - (0,453^2 + 0,547^2) + 0,453 \cdot 0,547 = 0$.
    Ответ: 0.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение: Приведем к виду $(a^2 - 49)x = a^2 - 14a + 49$.
    А) Нет корней при $a^2 - 49 = 0$ и $a^2 -14a +49 \neq 0 \Rightarrow a = -7$.
    Б) Один корень при $a \neq \pm7$.
    В) Бесконечно корней при $a =7$.
    Ответ: А) $a = -7$; Б) $a \neq \pm7$; В) $a =7$.
  7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3} .$
    Решение:
    $m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn = 25 - 12 = 13$.
    $m^3 + n^3 = (m+n)^3 - 3mn(m+n) = -125 + 90 = -35$.
    Сумма: $13 - 35 = -22$.
    Ответ: -22.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке $1 .$ Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$ ?
    Решение: $n = 5k +1$.
    $n^2 +3n = (5k+1)^2 +3(5k+1) =25k^2 +25k +4 \equiv 4 \pmod{5}$.
    Ответ: 4.
  9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
    Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
    $2x^5 -288x^3 =0 \Rightarrow x^3(2x^2 -288)=0 \Rightarrow x=0$ или $x = \pm12$.
    $|48 -4|x||=0 \Rightarrow |x|=12 \Rightarrow x = \pm12$.
    Ответ: $\pm12$.
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$.
    Решение: Числитель: $(3a+3)(3a^2 +3a +3) =9(a+1)(a^2 +a +1)$.
    Знаменатель: $9(a+1)(a^2 +a +1)$.
    Сокращаем: $\frac{9(...)}{9(...)} =1$.
    Ответ: 1.
Материалы школы Юайти