8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 13

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 13



  1. Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится $30 \%$, а во втором - 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
  3. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
  4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x||=0$.
  10. Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
    Решение: Область определения: $x \neq 2$. Замена $y = x - 1$:
    $\frac{y^{2} - 5y + 4}{y - 1} = 0 \Rightarrow y^{2} - 5y + 4 = 0$
    Корни: $y = 1$ и $y = 4 \Rightarrow x = 2$ (не подходит) и $x = 5$.
    Ответ: 5.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится $30 \%$, а во втором — $50\%$ золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
    Решение: По правилу смешения:
    $\frac{50 - 35}{35 - 30} = \frac{15}{5} = 3:1$
    Ответ: $3:1$.
  3. Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа — за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
    Решение: Наташа выполнила $\frac{1}{2}$ работы за $2$ часа. Совместная производительность:
    $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы/час.
    Время на оставшуюся половину: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$ часа.
    Общее время: $2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа. Катя выполнила $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$ работы.
    Ответ: $\frac{8}{3}$ часа, $\frac{1}{9}$.
  4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение: Соотношение углов: $2:5:11$. Сумма частей $18$, каждая часть $10^{\circ}$:
    $\angle A = 20^{\circ}, \angle B = 50^{\circ}, \angle C = 110^{\circ}$.
    Биссектриса делит $\angle A$ на $10^{\circ}$ и $10^{\circ}$. Высота образует угол $90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$ с основанием.
    Угол между ними: $70^{\circ} - 10^{\circ} = 60^{\circ}$.
    Ответ: $60^{\circ}$.
  5. Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
    Решение: Группировка слагаемых:
    $(0,613^{3} + 0,387^{3}) - (0,613^{2} - 0,613 \cdot 0,387 + 0,387^{2}) = 0$ (по формуле суммы кубов).
    Ответ: 0.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение: Приведем к виду $(a^{2} - 81)x = a^{2} - 162a + 81$.
    А) Нет корней при $a^{2} - 81 = 0$ и $a^{2} - 162a + 81 \neq 0 \Rightarrow a = \pm9$.
    Б) Один корень при $a^{2} \neq 81$.
    В) Невозможно для линейного уравнения.
    Ответ: А) $a = \pm9$; Б) $a \neq \pm9$; В) нет решений.
  7. Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите величину: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
    Решение: $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 25$.
    $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3ab(a + b) = -91$.
    Сумма: $25 - 91 = -66$.
    Ответ: $-66$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
    Решение: $n = 7k + 3$. Тогда:
    $n^{2} + 2n = (7k + 3)^{2} + 2(7k + 3) \equiv 9 + 6 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$.
    Ответ: 1.
  9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x||=0$.
    Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
    $2x^{5} - 242x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0$ (не подходит) или $x = \pm11$.
    $|33 - 3|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 11 \Rightarrow x = \pm11$.
    Ответ: $\pm11$.
  10. Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.
    Решение: Числитель: $(a + 1)(7a^{2} + 23a + 19)$.
    Знаменатель: $(a + 1)(7a^{2} + 23a + 19)$.
    Сокращение дает 1.
    Ответ: 1.
Материалы школы Юайти