8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 12

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2011 год


Вариант 12



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+2)^{2}-10(x+2)+9}{x-7}=0$
  2. Имеются два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится $28 \%$, а во втором - $40 \%$ меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ меди?
  3. Соня делает некоторую работу за 4 часа, Ира - за 6 часов, а Вероника Маврикиевна за 3 часа. После того, как Ира выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Соня и Вероника Маврикиевна . За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Соня?
  4. В треугольнике QPT $\angle Q: \angle P=3: 4, \angle P: \angle T=4: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
  5. Найдите значение выражения: $0,724^{3}-0,724^{2}+0,724 \cdot 0,276-0,276^{2}+0,276^{3}$
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=12(3 x+3-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
  7. Пусть $f+t=-8, f \cdot t=15$. Найдите, чему равна величина: $f^{2}+f^{3}+t^{2}+t^{3}$
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-192 x^{3}\right)^{4}+|48-6| x \|=0$
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+1)^{3}+(2 a-3)^{3}}{3\left(3 a^{3}-2 a^{2}\right)-9\left(3 a^{2}-2 a\right)+39 a-26}$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\frac{(x+2)^{2}-10(x+2)+9}{x-7}=0$
    Решение: Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет.
    Замена $y = x + 2$:
    $y^2 - 10y + 9 = 0 \Rightarrow y = 9$ или $y = 1$
    Возвращаемся к $x$:
    $x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7$ (не подходит, так как знаменатель обращается в ноль)
    $x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
    Ответ: $-1$.
  2. Имеются два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве содержится $28 \%$, а во втором — $40 \%$ меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ меди?
    Решение: Используем правило смешения:
    $\frac{40 - 30}{30 - 28} = \frac{10}{2} = 5:1$
    Ответ: $5:1$.
  3. Соня делает некоторую работу за 4 часа, Ира — за 6 часов, а Вероника Маврикиевна за 3 часа. После того, как Ира выполнила $2/5$ части всей работы, к ней присоединились Соня и Вероника Маврикиевна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Соня?
    Решение:
    Остаток работы: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
    Совместная производительность: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы в час
    Время на остаток: $\frac{3/5}{3/4} = \frac{4}{5}$ часа
    Общее время: $\frac{2/5}{1/6} + \frac{4}{5} = \frac{12}{5} + \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$ часа
    Часть Сони: $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
    Ответ: $3,2$ часа, $\frac{1}{5}$.
  4. В треугольнике QPT $\angle Q: \angle P=3: 4, \angle P: \angle T=4: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
    Решение:
    Углы: $\angle Q = 30^\circ$, $\angle P = 40^\circ$, $\angle T = 110^\circ$
    Биссектриса делит $\angle Q$ на $15^\circ$, высота образует $90^\circ$ с противоположной стороной
    Угол между ними: $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$
    Ответ: $75^\circ$.
  5. Найдите значение выражения: $0,724^{3}-0,724^{2}+0,724 \cdot 0,276-0,276^{2}+0,276^{3}$
    Решение:
    Используем тождество: $a^3 + b^3 - a^2 - b^2 + ab = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a^2 + b^2) + ab$
    Подстановка $a = 0,724$, $b = 0,276$:
    $(0,724 + 0,276)(0,724^2 - 0,724 \cdot 0,276 + 0,276^2) - (0,724^2 + 0,276^2) + 0,724 \cdot 0,276 = 1 \cdot (0,448) - 0,724^2 - 0,276^2 + 0,724 \cdot 0,276 = 0,448$
    Ответ: $0,448$.
  6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=12(3 x+3-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
    Решение:
    Приведем к виду: $x(a^2 - 36) = a^2 - 12a + 36$
    А) Нет корней при $a = -6$ (знаменатель нуль, числитель не ноль)
    Б) Один корень при $a \neq \pm6$
    В) Бесконечно корней при $a = 6$
    Ответ: А) $a = -6$; Б) $a \neq \pm6$; В) $a = 6$.
  7. Пусть $f + t = -8$, $f \cdot t = 15$. Найдите, чему равна величина: $f^{2} + f^{3} + t^{2} + t^{3}$
    Решение:
    $f^2 + t^2 = (f + t)^2 - 2ft = 64 - 30 = 34$
    $f^3 + t^3 = (f + t)^3 - 3ft(f + t) = (-512) - 3 \cdot 15 \cdot (-8) = -512 + 360 = -152$
    Сумма: $34 + (-152) = -118$
    Ответ: $-118$.
  8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке 4. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2} + 2n$?
    Решение:
    $n = 5k + 4$
    $n^2 + 2n = (5k + 4)^2 + 2(5k + 4) = 25k^2 + 40k + 16 + 10k + 8 = 25k^2 + 50k + 24 \equiv 24 \mod5 \equiv 4 \mod5$
    Ответ: $4$.
  9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5} - 192 x^{3}\right)^{4} + |48 - 6|x|| = 0$
    Решение:
    Оба слагаемых неотрицательны. Равенство возможно только при:
    $3x^3(x^2 - 64) = 0 \Rightarrow x = 0$, $x = \pm8$
    $|48 - 6|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 8 \Rightarrow x = \pm8$
    Ответ: $x = \pm8$.
  10. Сократите дробь: $\frac{(a+1)^{3} + (2a-3)^{3}}{3\left(3a^{3} - 2a^{2}\right) - 9\left(3a^{2} - 2a\right) + 39a - 26}$
    Решение:
    Числитель: $(a + 1 + 2a - 3)((a + 1)^2 - (a + 1)(2a - 3) + (2a - 3)^2) = (3a - 2)(\text{выражение})$
    Знаменатель: $9a^3 - 6a^2 - 27a^2 + 18a + 39a - 26 = 9a^3 - 33a^2 + 57a - 26 = (3a - 2)(3a^2 - 9a + 13)$
    Сокращаем на $(3a - 2)$:
    Ответ: $\frac{3a - 2}{3a^2 - 9a + 13}$.
Материалы школы Юайти