Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 11

ГИМНАЗИЯ №1567

2011 год

Вариант 11

1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится 20\%, а во втором - 45% железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
4. В треугольнике ОDH $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x||=0$.
10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{(x+1)^{2}-5(x+1)+4}{x-3}=0$
   Решение: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение в числителе:
   $(x+1)^2 - 5(x+1) + 4 = 0$
   Сделаем замену $y = x+1$:
   $y^2 - 5y + 4 = 0$
   $D = 25 - 16 = 9$
   $y_1 = \frac{5+3}{2} = 4$, $y_2 = \frac{5-3}{2} = 1$
   Возвращаемся к исходной переменной:
   $x+1 = 4 \Rightarrow x = 3$ (не подходит, так как знаменатель обращается в ноль)
   $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$
   Ответ: 0.
   
   
2. Имеются два сплава с разным содержанием железа. В первом сплаве содержится 20\%, а во втором - 45% железа. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ железа?
   Решение: Используем правило смешения:
   $\frac{m_1}{m_2} = \frac{45 - 30}{30 - 20} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
   Ответ: 3:2.
   
   
3. Люба делает некоторую работу за 3 часа, Настя - за 6 часов, а Авдотья Никитична за 2 часа. После того, как половину работы сделала Настя, к ней присоединились Люба и Авдотья Никитична. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Люба?
   Решение:
   Производительности: Люба — $\frac{1}{3}$, Настя — $\frac{1}{6}$, Авдотья — $\frac{1}{2}$.
   Настя сделала $\frac{1}{2}$ работы за $t_1 = \frac{1/2}{1/6} = 3$ часа.
   Оставшуюся половину работы трое делают вместе:
   Совместная производительность: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2+1+3}{6} = 1$
   Время $t_2 = \frac{1/2}{1} = 0,5$ часа.
   Общее время: $3 + 0,5 = 3,5$ часа.
   Часть Любы: $\frac{1}{3} \cdot 0,5 = \frac{1}{6}$.
   Ответ: 3,5 часа; $\frac{1}{6}$.
   
   
4. В треугольнике ОDH $\angle O: \angle D=3: 5, \angle D: \angle H=5: 10$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
   Решение:
   Из отношений углов: $\angle O = 3k$, $\angle D = 5k$, $\angle H = 10k$
   Сумма углов: $3k + 5k + 10k = 18k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 10^{\circ}$
   Углы: $\angle O = 30^{\circ}$, $\angle D = 50^{\circ}$, $\angle H = 100^{\circ}$
   Меньший угол — $\angle O = 30^{\circ}$. Биссектриса делит угол на $15^{\circ}$, высота образует угол $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ с основанием.
   Угол между ними: $60^{\circ} - 15^{\circ} = 45^{\circ}$
   Ответ: $45^{\circ}$.
   
   
5. Найдите значение выражения: $0,395^{3}-0,395^{2}+0,395 \cdot 0,605-0,605^{2}+0,605^{3}$
   Решение: Группируем слагаемые:
   $(0,395^3 + 0,605^3) + (-0,395^2 - 0,605^2) + 0,395 \cdot 0,605$
   Используем формулы:
   $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
   $-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$
   Подставляем $a = 0,395$, $b = 0,605$ ($a + b = 1$):
   $(1)(0,395^2 - 0,395 \cdot 0,605 + 0,605^2) - (0,395^2 + 0,605^2) + 0,395 \cdot 0,605 = -0,395 \cdot 0,605 + 0,395 \cdot 0,605 = 0$
   Ответ: 0.
   
   
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=16(4 x+4-a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
   Решение: Приведем уравнение к стандартному виду:
   $(a^2 - 64)x = a^2 - 16a + 64$
   А) Нет корней, когда коэффициент при x равен 0, а свободный член ≠ 0:
   $a^2 - 64 = 0 \Rightarrow a = \pm8$
   При $a = 8$: $0 \cdot x = 64 - 128 + 64 = 0$ — бесконечно решений
   При $a = -8$: $0 \cdot x = 64 + 128 + 64 = 256 ≠ 0$ ⇒ нет решений
   Б) Один корень при $a ≠ \pm8$
   В) Бесконечно решений при $a = 8$
   Ответ: А) $a = -8$; Б) $a ≠ \pm8$; В) $a = 8$.
   
   
7. Пусть $p+q=-6, p \cdot q=8$. Найдите, чему равна величина: $p^{2}+p^{3}+q^{2}+q^{3}$.
   Решение: Выразим через $p+q$ и $pq$:
   $p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq = 36 - 16 = 20$
   $p^3 + q^3 = (p+q)^3 - 3pq(p+q) = (-6)^3 - 3 \cdot 8 \cdot (-6) = -216 + 144 = -72$
   Сумма: $20 + (-72) = -52$
   Ответ: -52.
   
   
8. Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+5 n$ ?
   Решение: Представим $n = 7k + 3$:
   $n^2 + 5n = (7k+3)^2 + 5(7k+3) = 49k^2 + 42k + 9 + 35k + 15 = 49k^2 + 77k + 24$
   Остаток от деления на 7: $24 \mod 7 = 3$
   Ответ: 3.
   
   
9. Решите уравнение: $\left(3 x^{5}-243 x^{3}\right)^{4}+|45-5| x||=0$
   Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только когда оба слагаемых равны нулю:
   1) $3x^5 - 243x^3 = 0 \Rightarrow x^3(3x^2 - 243) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = \pm9$
   2) $|45 - 5|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 9$
   Общие решения: $x = \pm9$
   Ответ: $\pm9$.
   
   
10. Решите уравнение: $\frac{(3 a+2)^{3}-(a+1)^{3}}{13\left(2 a^{3}+a^{2}\right)+19\left(2 a^{2}+a\right)+14 a+7}$
    Решение: Упростим числитель и знаменатель:
    Числитель: $(3a+2)^3 - (a+1)^3 = 27a^3 + 54a^2 + 36a + 8 - (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) = 26a^3 + 51a^2 + 33a + 7$
    Знаменатель: $13(2a^3 + a^2) + 19(2a^2 + a) + 14a + 7 = 26a^3 + 13a^2 + 38a^2 + 19a + 14a + 7 = 26a^3 + 51a^2 + 33a + 7$
    Уравнение принимает вид $\frac{26a^3 + 51a^2 + 33a + 7}{26a^3 + 51a^2 + 33a + 7} = 1$, верно при всех $a$, кроме корней знаменателя. Но знаменатель равен числителю, поэтому уравнение верно для всех $a$, кроме случаев, когда знаменатель равен нулю. Однако числитель и знаменатель одинаковы, поэтому уравнение верно при всех допустимых $a$.
    Ответ: Все действительные числа, кроме корней уравнения $26a^3 + 51a^2 + 33a + 7 = 0$.