Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 10

ГИМНАЗИЯ №1567

2011 год

Вариант 10

1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором - 35% серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена - за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $2 / 5$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
4. В треугольнике MNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3}$.
8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке $1 .$ Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$ ?
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
10. Сократите дробь $: \frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{(x-2)^{2}-10(x-2)+9}{x-3}=0$
   Решение: Сделаем замену $t = x - 2$. Тогда уравнение примет вид:
   $\frac{t^2 - 10t + 9}{t - 1} = 0$
   Разложим числитель на множители: $t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9)$
   Уравнение упрощается до $\frac{(t - 1)(t - 9)}{t - 1} = t - 9 = 0$ при условии $t \neq 1$
   Решение: $t = 9 \Rightarrow x - 2 = 9 \Rightarrow x = 11$. Проверка: $x = 3$ не входит в ОДЗ.
   Ответ: 11.
   
   
2. Имеются два сплава с разным содержанием серебра. В первом сплаве содержится $15 \%$, а во втором — $35 \%$ серебра. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $30 \%$ серебра?
   Решение: Пусть масса первого сплава $m$, второго — $n$. Составим уравнение:
   $0,15m + 0,35n = 0,30(m + n)$
   Упростим: $0,05n = 0,15m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{3}$
   Ответ: $1:3$.
   
   
3. Маша делает некоторую работу за 6 часов, Лена — за 3 часа, а Элеонора Павловна за 2 часа. После того, как Лена выполнила $\frac{2}{5}$ части всей работы, к ней присоединились Маша и Элеонора Павловна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Маша?
   Решение: Лена выполнила $\frac{2}{5}$ работы за $\frac{2/5}{1/3} = \frac{6}{5}$ часа. Осталось $\frac{3}{5}$ работы. Совместная скорость:
   $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1$ работа/час. Время завершения: $\frac{3}{5}$ часа.
   Общее время: $\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$ часа. Часть Маши: $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{10}$.
   Ответ: $\frac{9}{5}$ часа, $\frac{1}{10}$.
   
   
4. В треугольнике MNK $\angle M: \angle N=2: 3, \angle N: \angle K=3: 13$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
   Решение: Углы треугольника: $\angle M = 20^{\circ}$, $\angle N = 30^{\circ}$, $\angle K = 130^{\circ}$. Меньший угол — $\angle M = 20^{\circ}$. Биссектриса делит угол на $10^{\circ}$, высота образует $90^{\circ}$ с противоположной стороной. Угол между ними: $90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.
   Ответ: $80^{\circ}$.
   
   
5. Найдите значение выражения: $0,453^{3}-0,453^{2}+0,453 \cdot 0,547-0,547^{2}+0,547^{3}$
   Решение: Используем тождество:
   $a^3 + b^3 - a^2 - b^2 + ab = 0$ при $a + b = 1$. Подставляя $a = 0,453$, $b = 0,547$, получаем:
   Ответ: 0.
   
   
6. Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=7(7 x+7-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
   Решение: Приведем уравнение к виду $x = \frac{(a - 7)^2}{(a - 7)(a + 7)}$. Корни существуют при $a \neq \pm7$. При $a = 7$ или $a = -7$ уравнение не имеет решений.
   Ответ: А) $a = \pm7$; Б) $a \neq \pm7$; В) нет таких значений.
   
   
7. Пусть $m+n=-5, m \cdot n=6$. Найдите, чему равна величина: $m^{2}+m^{3}+n^{2}+n^{3}$.
   Решение: Выразим через $m + n$ и $mn$:
   $m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 25 - 12 = 13$
   $m^3 + n^3 = (m + n)^3 - 3mn(m + n) = -125 + 90 = -35$
   Сумма: $13 - 35 = -22$
   Ответ: -22.
   
   
8. Натуральное число $n$ при делении на 5 дает в остатке $1$. Какой остаток при делении на 5 будет давать число $n^{2}+3 n$?
   Решение: $n = 5k + 1$. Тогда:
   $n^2 + 3n = (25k^2 + 10k + 1) + (15k + 3) \equiv 1 + 3 = 4 \mod 5$
   Ответ: 4.
   
   
9. Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-288 x^{3}\right)^{4}+|48-4| x \|=0$
   Решение: Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при:
   $2x^3(x^2 - 144) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm12$
   $|48 - 4|x|| = 0 \Rightarrow |x| = 12$
   Общее решение: $x = \pm12$
   Ответ: $\pm12$.
   
   
10. Сократите дробь: $\frac{(a+2)^{3}+(2 a+1)^{3}}{9\left(a^{3}+a^{2}\right)+9\left(a^{2}+a\right)+9 a+9}$
    Решение: Числитель: $(3a + 3)(3a^2 + 3a + 3) = 9(a + 1)(a^2 + a + 1)$
    Знаменатель: $9(a + 1)(a^2 + a + 1)$
    Сокращаем: $\frac{9(a + 1)(a^2 + a + 1)}{9(a + 1)(a^2 + a + 1)} = 1$
    Ответ: 1.