Школа №67 из 7 в 8 класс 2011 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ГИМНАЗИЯ №1567
2011 год
Вариант 1
- Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
- Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится $30 \%$, а во втором - 50% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
- Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
- В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
- Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
- Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
- Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
- Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
- Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x \|=0$.
- Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение: $\frac{(x-1)^{2}-5(x-1)+4}{x-2}=0$
Решение: Замена $t = x - 1$. Уравнение примет вид:
$\frac{t^2 - 5t + 4}{t - 1} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{(t-1)(t-4)}{t-1} = 0$
При $t \neq 1$ уравнение эквивалентно $t - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 4$
Возвращаемся к исходной переменной: $x - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 5$
Проверка: $x = 5$ не обращает знаменатель в ноль.
Ответ: 5.
- Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится $30 \%$, а во втором - $50\%$ золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий $35 \%$ золота?
Решение: Пусть масса первого сплава $m_1$, второго — $m_2$. Уравнение для золота:
$0,3m_1 + 0,5m_2 = 0,35(m_1 + m_2)$
$0,3m_1 + 0,5m_2 = 0,35m_1 + 0,35m_2$
$0,15m_2 = 0,05m_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{m_1}{m_2} = \frac{0,15}{0,05} = 3:1$
Ответ: $3:1$.
- Катя делает некоторую работу за 6 часов, Наташа - за 4 часа, а Марфа Петровна за 3 часа. После того, как половину работы сделала Наташа, к ней присоединились Катя и Марфа Петровна. За какое время была сделана вся работа, и какую ее часть сделала Катя?
Решение: Вся работа равна 1. Наташа за 2 часа сделала $\frac{1}{2}$ работы. Оставшаяся часть:
Совместная скорость: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$ работы/час
Время на оставшуюся $\frac{1}{2}$ работы: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$ часа
Общее время: $2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа
Часть Кати: $\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{8}{3}$ часа, $\frac{1}{9}$.
- В треугольнике $\mathrm{ABC} \angle A: \angle B=2: 5, \angle B: \angle C=5: 11$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины меньшего угла.
Решение: Пусть $\angle A = 2x$, $\angle B = 5x$, $\angle C = 11x$. Сумма углов:
$2x + 5x + 11x = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad x = 10^{\circ}$
Углы: $\angle A = 20^{\circ}$, $\angle B = 50^{\circ}$, $\angle C = 110^{\circ}$
Биссектриса делит $\angle A$ на $10^{\circ}$. Высота образует угол $90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$ с основанием.
Угол между высотой и биссектрисой: $40^{\circ} - 10^{\circ} = 30^{\circ}$
Ответ: $30^{\circ}$.
- Найдите значение выражения: $0,613^{3}-0,613^{2}+0,613 \cdot 0,387-0,387^{2}+0,387^{3}$
Решение: Заметим, что $0,613 + 0,387 = 1$. Преобразуем выражение:
$(0,613^3 + 0,387^3) + (0,613 \cdot 0,387) - (0,613^2 + 0,387^2)$
Используем формулы суммы кубов и квадратов:
$0,613^3 + 0,387^3 = (0,613 + 0,387)(0,613^2 - 0,613 \cdot 0,387 + 0,387^2) = 1 \cdot (0,613^2 - 0,613 \cdot 0,387 + 0,387^2)$
Подставляем в исходное выражение:
$(0,613^2 - 0,613 \cdot 0,387 + 0,387^2) + 0,613 \cdot 0,387 - (0,613^2 + 0,387^2) = 0$
Ответ: 0.
- Дано уравнение: $a^{2}(x-1)=9(9 x+9-2 a)$. Найдите все те значения параметра $a$, при каждом из которых данное уравнение: А) не имеет корней; Б) имеет ровно один корень; В) имеет более одного корня.
Решение: Преобразуем уравнение:
$(a^2 - 81)x = a^2 - 18a + 81$
А) Нет корней при $a^2 - 81 = 0$ и $a^2 - 18a + 81 \neq 0$:
$a = -9$
Б) Один корень при $a^2 - 81 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a \neq \pm9$
В) Бесконечно корней при $a^2 - 81 = 0$ и $a^2 - 18a + 81 = 0$:
$a = 9$
Ответ: А) $a = -9$; Б) $a \neq \pm9$; В) $a = 9$.
- Пусть $a+b=-7, a \cdot b=12$. Найдите, чему равна величина: $a^{2}+a^{3}+b^{2}+b^{3}$.
Решение: Выразим сумму квадратов и кубов:
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 49 - 24 = 25$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (-7)(25 - 12) = -91$
Итог: $25 + (-91) = -66$
Ответ: $-66$.
- Натуральное число $n$ при делении на 7 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число $n^{2}+2 n$ ?
Решение: $n = 7k + 3$. Вычислим:
$n^2 + 2n = (7k + 3)^2 + 2(7k + 3) = 49k^2 + 42k + 9 + 14k + 6 = 49k^2 + 56k + 15$
Остаток от деления на 7: $15 \mod 7 = 1$
Ответ: 1.
- Решите уравнение: $\left(2 x^{5}-242 x^{3}\right)^{4}+|33-3| x \|=0$.
Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
$2x^3(x^2 - 121) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$ или $x = \pm11$
$|33 - 3|x|| = 0 \quad \Rightarrow \quad |x| = 11 \quad \Rightarrow \quad x = \pm11$
Общие решения: $x = \pm11$
Ответ: $\pm11$.
- Сократите дробь: $\frac{(2 a+3)^{3}-(a+2)^{3}}{7\left(a^{3}+a^{2}\right)+23\left(a^{2}+a\right)+19 a+19}$.
Решение: Разложим числитель и знаменатель:
Числитель: $(2a + 3 - a - 2)((2a + 3)^2 + (2a + 3)(a + 2) + (a + 2)^2) = (a + 1)(7a^2 + 23a + 19)$
Знаменатель: $7a^3 + 30a^2 + 42a + 19 = (a + 1)(7a^2 + 23a + 19)$
Сокращаем на $(a + 1)$:
$\frac{7a^2 + 23a + 19}{7a^2 + 23a + 19} = 1$
Ответ: 1.
Материалы школы Юайти