Школа №67 из 7 в 8 класс 2010 год вариант 2

ГИМНАЗИЯ №1567

2010 год

Вариант 2

Часть 1. Выбрать правильный ответ:

1. Решить уравнение: $2-\frac{x-3}{3}=\frac{4 x-1}{2}$.
   1. $\frac{9}{14}$,
   2. 2,1,
   3. 1,5,
   4. $-2$,
   5. нет верного.
2. На сколько процентов 18 км больше 15 км?
   1. $20 \%$
   2. $80 \%$
   3. $25 \%$
   4. $120 \%$
   5. нет верного.
3. Значение выражения $\frac{0,86^{2}+2 \cdot 0,14 \cdot 0,86+0,14^{2}}{0,14^{2}-0,86^{2}}$ равно
   1. $-1$,
   2. 0,72
   3. $-0,72$
   4. $-1 \frac{7}{18}$
   5. нет верного.
4. Сумма корней уравнения $(|y|-5)(y-6)=0$ равна
   1. 11,
   2. 6,
   3. 0,
   4. 30,
   5. нет верного.
5. Значение выражения $\frac{3^{16}+5 \cdot 3^{18}+6 \cdot 3^{17}}{18^{8}}$ равно
   1. $6, \quad$
   2. 4,
   3. $\frac{1}{4}$,
   4. $\frac{1}{8}$,
   5. нет верного.
   
   Часть 2. Решить, записать решение:
6. Если смешать 3 л $15 \%$-ной сметаны с 2 л $25 \%$-ной сметаны, то сколько процентов составит жирность полученной сметаны?
7. Упростить и найти значение выражение: $(3 x-2)^{2}+(x-1)^{2}-2(x-1)(3 x-2) \quad$ при $x=0,25$
8. Решить задачу с помощью уравнения: Мастерская должна была сшить определенное количество курток за 24 дня. Однако она шила ежедневно на 6 курток больше, чем планировала первоначально, и потому выполнила заказ на 4 дня раньше срока. Сколько курток должна была сшить мастерская?

Решения задач

1. Решить уравнение: $2-\frac{x-3}{3}=\frac{4 x-1}{2}$.
   Решение:
   Умножим обе части уравнения на 6 для устранения знаменателей:
   $6 \cdot \left(2 - \frac{x - 3}{3}\right) = 6 \cdot \frac{4x - 1}{2}$
   $12 - 2(x - 3) = 3(4x - 1)$
   $12 - 2x + 6 = 12x - 3$
   $18 - 2x = 12x - 3$
   $21 = 14x$
   $x = \frac{21}{14} = 1,5$
   Ответ: 1,5.
   
   
2. На сколько процентов 18 км больше 15 км?
   Решение:
   Разница составляет $18 - 15 = 3$ км. Процентное отношение:
   $\frac{3}{15} \times 100% = 20\%$
   Ответ: $20\%$.
   
   
3. Значение выражения $\frac{0,86^{2}+2 \cdot 0,14 \cdot 0,86+0,14^{2}}{0,14^{2}-0,86^{2}}$ равно
   Решение:
   Числитель — квадрат суммы: $(0,86 + 0,14)^2 = 1$
   Знаменатель — разность квадратов: $0,14^2 - 0,86^2 = (0,14 - 0,86)(0,14 + 0,86) = -0,72$
   $\frac{1}{-0,72} = -\frac{25}{18} = -1\frac{7}{18}$
   Ответ: $-1 \frac{7}{18}$.
   
   
4. Сумма корней уравнения $(|y|-5)(y-6)=0$ равна
   Решение:
   Корни уравнения: $|y| = 5 \Rightarrow y = 5$, $y = -5$; $y = 6$
   Сумма корней: $-5 + 5 + 6 = 6$
   Ответ: 6.
   
   
5. Значение выражения $\frac{3^{16}+5 \cdot 3^{18}+6 \cdot 3^{17}}{18^{8}}$ равно
   Решение:
   Упростим числитель:
   $3^{16}(1 + 5 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3) = 3^{16} \cdot 64$
   Знаменатель: $18^8 = 2^8 \cdot 3^{16}$
   $\frac{3^{16} \cdot 64}{2^8 \cdot 3^{16}} = \frac{64}{256} = \frac{1}{4}$
   Ответ: $\frac{1}{4}$.
   
   
6. Если смешать 3 л $15 \%$-ной сметаны с 2 л $25 \%$-ной сметаны, то сколько процентов составит жирность полученной сметаны?
   Решение:
   Общее количество жира: $3 \cdot 0,15 + 2 \cdot 0,25 = 0,95$ л
   Общий объём: $3 + 2 = 5$ л
   Жирность: $\frac{0,95}{5} \times 100% = 19\%$
   Ответ: 19\%.
   
   
7. Упростить и найти значение выражение: $(3 x-2)^{2}+(x-1)^{2}-2(x-1)(3 x-2)$ при $x=0,25$
   Решение:
   Выражение является квадратом разности:
   $(3x - 2 - (x - 1))^2 = (2x - 1)^2$
   При $x = 0,25$:
   $(2 \cdot 0,25 - 1)^2 = (-0,5)^2 = 0,25$
   Ответ: $(2x - 1)^2$, значение 0,25.
   
   
8. Решить задачу с помощью уравнения: Мастерская должна была сшить определённое количество курток за 24 дня. Однако она шила ежедневно на 6 курток больше, чем планировала первоначально, и потому выполнила заказ на 4 дня раньше срока. Сколько курток должна была сшить мастерская?
   Решение:
   Пусть $x$ — планируемое количество курток в день. Тогда общее количество курток: $24x$
   Фактически шили $x + 6$ курток в день и выполнили за $24 - 4 = 20$ дней:
   $24x = 20(x + 6)$
   $24x = 20x + 120$
   $4x = 120$
   $x = 30$
   Общее количество курток: $24 \cdot 30 = 720$
   Ответ: 720 курток.