Школа №67 из 7 в 8 класс 2010 год вариант 1-1
СкачатьПечать
youit.school ©
ГИМНАЗИЯ №1567
2010 год
- Вычислите: $\frac{17,31^{2}+0,69^{2}-12,69^{2}-29,31^{2}}{\frac{1}{3}\left(0,87^{3}+2,13^{3}\right)+3 \cdot 0,87 \cdot 2,13}$.
- Сократите дробь $\frac{3 \cdot(-a) \cdot b^{2}-a^{3}-3 a^{2} b-b^{3}}{a b^{2}-a^{2} b+b^{3}-a^{3}}$ и найдите ее значение при $a=|-0,25|$, $b=-\left|1 \frac{3}{7}\right| .$
- Найдите значение выражения $27 x^{3}-z^{3}$, если известно, что $3 x-z=-7$ и $3 x z=2$.
- Цена одной упаковки вареников с вишней в течение года менялась три раза. Сначала она увеличилась на $20 \%$, затем уменьшилась на $5 \%$ и, наконец, возросла на $20 \%$. Определите первоначальную цену упаковки вареников, если в конце года она была 171 рубль.
- Число $2 c$ даёт остаток 6 при делении на $10 .$ Найдите остаток от деления числа $c^{2}$ на $5 .$
- Решите уравнение: $|2 y-x|+(8-|3 y+1|)^{6}=0$.
- Петя вышел из школы и пошёл по направлению к дому со скоростью 4 км/ч. Одновременно с ним от дома к школе выехал на мопеде его брат Серёжа со скоростью 42 км/ч. Встретив по дороге Петю, Серёжа доехал до школы, мгновенно развернулся и поехал к дому. Таким образом Серёжа ездил между домом и школой до тех пор, пока Петя не пришёл домой. Сколько раз братья встретятся, пока Петя идёт от школы до дома, если расстояние между зданиями 2,8 км.
- Решите уравнение: $\left((2-7 x)^{2}-0,26\right)^{2}-0,01=0$.
- Один из углов равнобедренного треугольника равен $24^{\circ} .$ Найдите острый угол между двумя биссектрисами, исходящими из углов при основании треугольника.
- При каких значениях параметра $p$ уравнение $p^{3} x+6 p^{2}=9 p x+p^{3}+9 p$ не имеет корней?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите: $\frac{17,31^{2}+0,69^{2}-12,69^{2}-29,31^{2}}{\frac{1}{3}\left(0,87^{3}+2,13^{3}\right)+3 \cdot 0,87 \cdot 2,13}$.
Решение: В числителе сгруппируем слагаемые:
$(17,31^2 - 29,31^2) + (0,69^2 - 12,69^2) = (17,31 - 29,31)(17,31 + 29,31) + (0,69 - 12,69)(0,69 + 12,69)$
$= (-12 \cdot 46,62) + (-12 \cdot 13,38) = -12(46,62 + 13,38) = -12 \cdot 60 = -720$
В знаменателе используем формулу суммы кубов:
$\frac{1}{3}(a^3 + b^3) + 3ab = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{3} + 3ab = \frac{(3)(a^2 - ab + b^2)}{3} + 3ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = 3^2 = 9$
Итоговое значение: $\frac{-720}{9} = -80$
Ответ: $-80$.
- Сократите дробь $\frac{3 \cdot(-a) \cdot b^{2}-a^{3}-3 a^{2} b-b^{3}}{a b^{2}-a^{2} b+b^{3}-a^{3}}$ и найдите ее значение при $a=|-0,25|$, $b=-\left|1 \frac{3}{7}\right| .$
Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $-a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 = -(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -(a + b)^3$
Знаменатель: $-a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 = -(a^3 + a^2b) + (ab^2 + b^3) = -a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a + b)(b^2 - a^2) = (a + b)(b - a)(b + a)$
Сокращаем дробь: $\frac{-(a + b)^3}{(a + b)(b - a)(b + a)} = \frac{-(a + b)}{b - a} = \frac{a + b}{a - b}$
Подставляем значения: $a = 0,25$, $b = -\frac{10}{7}$
$\frac{0,25 - \frac{10}{7}}{0,25 + \frac{10}{7}} = \frac{\frac{7}{28} - \frac{40}{28}}{\frac{7}{28} + \frac{40}{28}} = \frac{-33/28}{47/28} = -\frac{33}{47}$
Ответ: $-\frac{33}{47}$.
- Найдите значение выражения $27 x^{3}-z^{3}$, если известно, что $3 x-z=-7$ и $3 x z=2$.
Решение: Используем формулу разности кубов:
$27x^3 - z^3 = (3x - z)(9x^2 + 3xz + z^2)$
Из условия: $3x - z = -7$, $3xz = 2 \Rightarrow xz = \frac{2}{3}$
Выразим $9x^2 + z^2$ через $(3x - z)^2 = 49$:
$(3x - z)^2 = 9x^2 - 6xz + z^2 = 49 \Rightarrow 9x^2 + z^2 = 49 + 6 \cdot \frac{2}{3} = 49 + 4 = 53$
Тогда $9x^2 + 3xz + z^2 = 53 + 2 = 55$
Итоговое значение: $-7 \cdot 55 = -385$
Ответ: $-385$.
- Цена одной упаковки вареников с вишней в течение года менялась три раза. Сначала она увеличилась на $20 \%$, затем уменьшилась на $5 \%$ и, наконец, возросла на $20 \%$. Определите первоначальную цену упаковки вареников, если в конце года она была 171 рубль.
Решение: Обозначим начальную цену как $x$. Последовательность изменений:
$x \cdot 1,2 \cdot 0,95 \cdot 1,2 = 171$
Вычисляем коэффициент изменения: $1,2 \cdot 0,95 \cdot 1,2 = 1,2^2 \cdot 0,95 = 1,44 \cdot 0,95 = 1,368$
Тогда $x = \frac{171}{1,368} = 125$ рублей
Ответ: 125 руб.
- Число $2 c$ даёт остаток 6 при делении на $10 .$ Найдите остаток от деления числа $c^{2}$ на $5 .$
Решение: Из условия $2c \equiv 6 \mod 10 \Rightarrow c \equiv 3 \mod 5$
Возможные значения $c$: $c = 5k + 3$
Тогда $c^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 \equiv 9 \mod 5 \equiv 4 \mod 5$
Ответ: 4.
- Решите уравнение: $|2 y-x|+(8-|3 y+1|)^{6}=0$.
Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при одновременном равенстве нулю каждого слагаемого:
$\begin{cases} |2y - x| = 0 \\ 8 - |3y + 1| = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2y \\ |3y + 1| = 8 \Rightarrow 3y + 1 = \pm8 \end{cases}$
Решаем второе уравнение:
1) $3y + 1 = 8 \Rightarrow y = \frac{7}{3} \Rightarrow x = \frac{14}{3}$
2) $3y + 1 = -8 \Rightarrow y = -3 \Rightarrow x = -6$
Ответ: $\left(\frac{14}{3}, \frac{7}{3}\right)$ и $(-6, -3)$.
- Петя вышел из школы и пошёл по направлению к дому со скоростью 4 км/ч. Одновременно с ним от дома к школе выехал на мопеде его брат Серёжа со скоростью 42 км/ч. Встретив по дороге Петю, Серёжа доехал до школы, мгновенно развернулся и поехал к дому. Таким образом Серёжа ездил между домом и школой до тех пор, пока Петя не пришёл домой. Сколько раз братья встретятся, если расстояние между зданиями 2,8 км.
Решение: Время движения Пети: $t = \frac{2,8}{4} = 0,7$ ч = 42 мин
Первая встреча произойдет через время $t_1 = \frac{2,8}{4 + 42} = \frac{2,8}{46} \approx 0,0609$ ч
За оставшееся время Серёжа совершит полных циклов движения:
Время одного цикла (школа-дом-школа): $t_{cycle} = \frac{2,8}{42} \cdot 2 = \frac{5,6}{42} \approx 0,1333$ ч
Количество циклов: $\frac{0,7 - 0,0609}{0,1333} \approx 4,8$ циклов
Каждый цикл дает 2 встречи (туда и обратно), кроме первого. Всего встреч: 1 + 4*2 = 9
Ответ: 9 раз.
- Решите уравнение: $\left((2-7 x)^{2}-0,26\right)^{2}-0,01=0$.
Решение: Раскроем уравнение как разность квадратов:
$\left((2 - 7x)^2 - 0,26\right)^2 = 0,01 \Rightarrow (2 - 7x)^2 - 0,26 = \pm0,1$
1) $(2 - 7x)^2 = 0,36 \Rightarrow 2 - 7x = \pm0,6$
a) $2 - 7x = 0,6 \Rightarrow x = \frac{1,4}{7} = 0,2$
b) $2 - 7x = -0,6 \Rightarrow x = \frac{2,6}{7} \approx 0,3714$
2) $(2 - 7x)^2 = 0,16 \Rightarrow 2 - 7x = \pm0,4$
c) $2 - 7x = 0,4 \Rightarrow x = \frac{1,6}{7} \approx 0,2286$
d) $2 - 7x = -0,4 \Rightarrow x = \frac{2,4}{7} \approx 0,3429$
Ответ: $0,2$; $0,3714$; $0,2286$; $0,3429$.
- Один из углов равнобедренного треугольника равен $24^{\circ} .$ Найдите острый угол между двумя биссектрисами, исходящими из углов при основании треугольника.
Решение: Если угол при вершине равен $24^\circ$, то углы при основании: $\frac{180 - 24}{2} = 78^\circ$
Биссектрисы делят углы при основании пополам: $39^\circ$
Угол между биссектрисами: $180 - 39 - 39 = 102^\circ$ (тупой угол)
Если угол при основании $24^\circ$, то вершина: $180 - 2*24 = 132^\circ$
Биссектрисы углов при основании: $12^\circ$
Угол между биссектрисами: $180 - 12 - 132 = 36^\circ$
Ответ: $36^\circ$.
- При каких значениях параметра $p$ уравнение $p^{3} x+6 p^{2}=9 p x+p^{3}+9 p$ не имеет корней?
Решение: Преобразуем уравнение:
$(p^3 - 9p)x = p^3 + 9p - 6p^2$
Уравнение не имеет корней, когда коэффициент при x равен 0, а свободный член ≠ 0:
$\begin{cases} p^3 - 9p = 0 \\ p^3 + 9p - 6p^2 \neq 0 \end{cases}$
Решаем первое уравнение: $p(p^2 - 9) = 0 \Rightarrow p = 0; \pm3$
Проверяем второе условие:
$p = 0$: $0 + 0 - 0 = 0$ — не подходит
$p = 3$: $27 + 27 - 54 = 0$ — не подходит
$p = -3$: $-27 - 27 - 54 = -108 \neq 0$ — подходит
Ответ: $p = -3$.
Материалы школы Юайти