Школа №67 из 7 в 8 класс 2009 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ГИМНАЗИЯ №1567
2009 год
- Решите уравнение $\left(x^{2}+1\right)(18 x-17)(29-30 x)=0$ и укажите меньший из его корней.
- В двух магазинах были одинаковые цены на некоторый товар. В первом магазине цены на этот товар уменьшили на $20 \%$, а потом еще на $20 \%$, а во втором магазине цены снизили на 40 \%. Найдите отношение цены товара в первом магазине к цене товара во втором магазине после всех снижений.
- Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 часов по течению катер проходит столько же, сколько за 9 часов против течения.
- На координатной прямой найдите расстояние между точками $\mathrm{A}(a)$ и $\mathrm{B}(b)$, если $a=\frac{-14^{2} \cdot 25^{3}}{49 \cdot(-10)^{6}} ; \quad b=\frac{7^{40}+7^{38}-2 \cdot 7^{39}}{6^{2} \cdot 49^{19}} .$
- При $x=5$ значение дроби $\frac{19 x+5 b-16}{5 x-2 b+1}$ равно 0 . При каком значении $x$ эта дробь потеряет смысл?
- Найдите последнюю цифру числа $1567^{2008}+2010^{2009} .$
- Решите уравнение: $\left(x^{2}+6 x+5\right)^{2}+|1-| x||=0$.
- Упростите выражение $2+(4-c)^{3}-\left(65-c\left((6-c)^{2}+12\right)\right)+c(c+2)$ и найдите его значение при $c=-1,41 .$
- Углы равнобедренного треугольника относятся друг к другу как $5: 2 .$ Найдите угол между прямыми, содержащими высоты треугольника, проведенные из вершин неравных углов.
- При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^{3}-a^{2} x=5 a x+25 a$ имеет бесконечно много корней?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение $\left(x^{2}+1\right)(18 x-17)(29-30 x)=0$ и укажите меньший из его корней.
Решение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^{2} + 1 = 0$ — нет действительных корней.
$18x - 17 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{18} \approx 0,944$
$29 - 30x = 0 \Rightarrow x = \frac{29}{30} \approx 0,966$
Меньший корень: $\frac{17}{18}$.
Ответ: $\frac{17}{18}$.
- В двух магазинах были одинаковые цены на некоторый товар. В первом магазине цены на этот товар уменьшили на $20 \%$, а потом еще на $20 \%$, а во втором магазине цены снизили на 40 \%. Найдите отношение цены товара в первом магазине к цене товара во втором магазине после всех снижений.
Решение: Пусть исходная цена $P$. После первого снижения: $0,8P$, после второго: $0,8 \cdot 0,8P = 0,64P$. Во втором магазине: $0,6P$.
Отношение: $\frac{0,64P}{0,6P} = \frac{16}{15}$.
Ответ: $\frac{16}{15}$.
- Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 часов по течению катер проходит столько же, сколько за 9 часов против течения.
Решение: Пусть $v$ — собственная скорость, $u$ — скорость течения:
$\begin{cases} 3(v + u) + 5(v - u) = 76 \\ 6(v + u) = 9(v - u) \end{cases}$
Из второго уравнения: $6v + 6u = 9v - 9u \Rightarrow 15u = 3v \Rightarrow v = 5u$.
Подставляем в первое уравнение: $3(6u) + 5(4u) = 76 \Rightarrow 38u = 76 \Rightarrow u = 2$ км/ч, $v = 10$ км/ч.
Ответ: 10 км/ч и 2 км/ч.
- На координатной прямой найдите расстояние между точками $\mathrm{A}(a)$ и $\mathrm{B}(b)$, если $a=\frac{-14^{2} \cdot 25^{3}}{49 \cdot(-10)^{6}} ; \quad b=\frac{7^{40}+7^{38}-2 \cdot 7^{39}}{6^{2} \cdot 49^{19}} .$
Решение:
$a = \frac{-196 \cdot 15625}{49 \cdot 1000000} = \frac{-4 \cdot 15625}{1000000} = -0,0625$
$b = \frac{7^{38}(49 + 1 - 14)}{36 \cdot 7^{38}} = \frac{36}{36} = 1$
Расстояние: $|1 - (-0,0625)| = 1,0625 = \frac{17}{16}$.
Ответ: $\frac{17}{16}$.
- При $x=5$ значение дроби $\frac{19 x+5 b-16}{5 x-2 b+1}$ равно 0 . При каком значении $x$ эта дробь потеряет смысл?
Решение: Из условия:
$19 \cdot 5 + 5b - 16 = 0 \Rightarrow 5b = -79 \Rightarrow b = -15,8$
Знаменатель: $5x - 2(-15,8) + 1 = 5x + 32,6 = 0 \Rightarrow x = -6,52$.
Ответ: $-6,52$.
- Найдите последнюю цифру числа $1567^{2008}+2010^{2009} .$
Решение:
Последняя цифра $1567^{2008}$: $7^4 \equiv 1 \mod{10}$, $2008 \div 4 = 502$ ⇒ последняя цифра 1.
Последняя цифра $2010^{2009}$: 0.
Сумма: $1 + 0 = 1$.
Ответ: 1.
- Решите уравнение: $\left(x^{2}+6 x+5\right)^{2}+|1-| x||=0$.
Решение: Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только при:
$x^{2} + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x = -1$ или $x = -5$
$|1 - |x|| = 0 \Rightarrow |x| = 1 \Rightarrow x = \pm1$
Общее решение: $x = -1$.
Ответ: $-1$.
- Упростите выражение $2+(4-c)^{3}-\left(65-c\left((6-c)^{2}+12\right)\right)+c(c+2)$ и найдите его значение при $c=-1,41 .$
Решение: Раскроем скобки:
$2 + (64 - 48c + 12c^2 - c^3) - 65 + c(36 - 12c + c^2 + 12) + c^2 + 2c$
После упрощения: $-c^3 + 13c^2 - 46c + 1$
При $c = -1,41$: $-(-1,41)^3 + 13(-1,41)^2 - 46(-1,41) + 1 \approx 2,8 + 25,8 + 64,86 + 1 = 94,46$.
Ответ: 94,46.
- Углы равнобедренного треугольника относятся друг к другу как $5: 2 .$ Найдите угол между прямыми, содержащими высоты треугольника, проведенные из вершин неравных углов.
Решение: Возможные варианты углов:
1) $5:5:2$ — сумма $12$ частей ⇒ $1$ часть $15^{\circ}$ ⇒ углы $75^{\circ}, 75^{\circ}, 30^{\circ}$.
Угол между высотами: $180^{\circ} - 75^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$.
Ответ: $75^{\circ}$.
- При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^{3}-a^{2} x=5 a x+25 a$ имеет бесконечно много корней?
Решение: Уравнение приводится к виду:
$a^3 - 25a = x(a^2 + 5a)$
Бесконечно много решений при:
$\begin{cases} a^2 + 5a = 0 \\ a^3 - 25a = 0 \end{cases}$
Решения: $a = 0$ (удовлетворяет обоим уравнениям).
Ответ: $a = 0$.
Материалы школы Юайти