Школа №67 из 7 в 8 класс 2008 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1567

2008 год

1. Известно, что $a+\frac{1}{a}=3$. Найдите значение выражения $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}$.
2. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{5}: \frac{1}{3}: \frac{1}{20}$, а четвертое составляет $15 \%$ второго. Найти эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
3. Упростите выражение $x^{3}+3 x^{2}(x-1)+3 x(x-1)^{2}+(x-1)^{3}$ и найдите его значение при $x=3,1$
4. Решите уравнение: $\frac{x^{2}+2 x-3}{x^{3}+2 x^{2}+3 x-6}=0$.
5. Решите уравнение: $\left(\frac{4 x-7}{0,2}+\frac{6 x-3}{0,4}\right)^{2}=\left(70-\frac{4 x+1}{0,3}\right)^{2}$.
6. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-4 a^{2}+2 x y+y^{2}}{(x+y)^{2}+4 a(x+y)+4 a^{2}}$. Найдите значение получившегося выражения при $x=-4 \frac{1}{12}, y=2 \frac{1}{6}, a=\frac{1}{3}$.
7. Лена и Наташа живут в одном доме и учатся в одной школе. Лена доходит от дома до школы за 20 минут, а Наташа - за 30 минут. Через сколько минут Лена догонит Наташу, если Наташа выйдет из дома на 5 минут раньше Лены?
8. Надо застелить ковром пол в комнате, ширина которой на 1 м меньше длины. Если купить ковер, длина и ширина которого на 50 см меньше длины и ширины комнаты, то он будет на 2550 р. дешевле, чем ковер, покрывающий весь пол. Найдите длину и ширину комнаты, если известно, что 1 м $^{2}$ ковра стоит 600 р.
9. На координатной прямой даны две точки $\mathrm{A}(a)$ и $\mathrm{B}($ в), причем $a=\frac{(0,04)^{2}-(0,2)^{2}}{(-0,04)^{2} \cdot(-3)}-\left(-1 \frac{1}{8}\right)^{3} \cdot\left(-1 \frac{1}{3}\right)^{5}$ и $в=\frac{7,46^{3}+6,26^{3}}{13,72}-7,46 \cdot 6,26$. Найдите расстояние между точками А и В.
10. Углы равнобедренного треугольника пропорциональны числам 2 и $5 .$ Найдите угол между биссектрисами неравных углов.

Решения задач

1. Известно, что $a+\frac{1}{a}=3$. Найдите значение выражения $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}$.
   Решение: Возведем исходное равенство в квадрат:
   $\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = 3^2 \Rightarrow a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9 \Rightarrow a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$.
   Преобразуем искомое выражение:
   $\frac{a^4 + 1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$.
   Ответ: 7.
2. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как $\frac{1}{5}: \frac{1}{3}: \frac{1}{20}$, а четвертое составляет $15 \%$ второго. Найти эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
   Решение: Приведем отношения к общему знаменателю 60:
   $\frac{1}{5} : \frac{1}{3} : \frac{1}{20} = 12 : 20 : 3$.
   Пусть коэффициенты пропорциональности равны $k$, тогда числа: $12k$, $20k$, $3k$, а четвертое число $0,15 \cdot 20k = 3k$.
   По условию: $20k - (12k + 3k + 3k) = 8 \Rightarrow 20k - 18k = 8 \Rightarrow 2k = 8 \Rightarrow k = 4$.
   Числа: $48$, $80$, $12$, $12$.
   Ответ: 48, 80, 12, 12.
3. Упростите выражение $x^{3}+3 x^{2}(x-1)+3 x(x-1)^{2}+(x-1)^{3}$ и найдите его значение при $x=3,1$.
   Решение: Заметим, что выражение соответствует формуле куба суммы:
   $(x + (x - 1))^3 = (2x - 1)^3$.
   Подставим $x = 3,1$:
   $(2 \cdot 3,1 - 1)^3 = (6,2 - 1)^3 = 5,2^3 = 140,608$.
   Ответ: 140,608.
4. Решите уравнение: $\frac{x^{2}+2 x-3}{x^{3}+2 x^{2}+3 x-6}=0$.
   Решение: Числитель равен нулю:
   $x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$ или $x = -3$.
   Проверим знаменатель:
   При $x = 1$: $1 + 2 + 3 - 6 = 0$ (не подходит).
   При $x = -3$: $-27 + 18 - 9 - 6 = -24 \neq 0$.
   Ответ: $-3$.
5. Решите уравнение: $\left(\frac{4 x-7}{0,2}+\frac{6 x-3}{0,4}\right)^{2}=\left(70-\frac{4 x+1}{0,3}\right)^{2}$.
   Решение: Упростим выражения:
   Левая часть: $\frac{4x - 7}{0,2} + \frac{6x - 3}{0,4} = 5(4x - 7) + 2,5(6x - 3) = 35x - 42,5$.
   Правая часть: $70 - \frac{4x + 1}{0,3} = 70 - \frac{10}{3}(4x + 1) = 70 - \frac{40x + 10}{3}$.
   Уравнение принимает вид:
   $(35x - 42,5)^2 = \left(70 - \frac{40x + 10}{3}\right)^2$.
   Решаем два случая:
   1) $35x - 42,5 = 70 - \frac{40x + 10}{3} \Rightarrow x = \frac{65}{29} \approx 2,241$.
   2) $35x - 42,5 = -70 + \frac{40x + 10}{3} \Rightarrow x = -\frac{29}{26} \approx -1,115$.
   Ответ: $\frac{65}{29}$ и $-\frac{29}{26}$.
6. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-4 a^{2}+2 x y+y^{2}}{(x+y)^{2}+4 a(x+y)+4 a^{2}}$. Найдите значение получившегося выражения при $x=-4 \frac{1}{12}, y=2 \frac{1}{6}, a=\frac{1}{3}$.
   Решение: Преобразуем числитель и знаменатель:
   Числитель: $(x + y)^2 - (2a)^2 = (x + y - 2a)(x + y + 2a)$.
   Знаменатель: $(x + y + 2a)^2$.
   Сокращаем: $\frac{x + y - 2a}{x + y + 2a}$.
   Подставляем значения:
   $x + y = -\frac{49}{12} + \frac{13}{6} = -\frac{23}{12}$.
   Значение дроби: $\frac{-\frac{23}{12} - \frac{2}{3}}{-\frac{23}{12} + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{31}{12}}{-\frac{15}{12}} = \frac{31}{15} = 2\frac{1}{15}$.
   Ответ: $\frac{31}{15}$.
7. Лена и Наташа живут в одном доме и учатся в одной школе. Лена доходит от дома до школы за 20 минут, а Наташа - за 30 минут. Через сколько минут Лена догонит Наташу, если Наташа выйдет из дома на 5 минут раньше Лены?
   Решение: Пусть расстояние до школы $S$. Скорости: $v_{\text{Л}} = \frac{S}{20}$, $v_{\text{Н}} = \frac{S}{30}$.
   За 5 минут Наташа проходит: $\frac{S}{30} \cdot 5 = \frac{S}{6}$.
   Разность скоростей: $\frac{S}{20} - \frac{S}{30} = \frac{S}{60}$.
   Время встречи: $\frac{\frac{S}{6}}{\frac{S}{60}} = 10$ минут.
   Ответ: 10 минут.
8. Надо застелить ковром пол в комнате, ширина которой на 1 м меньше длины. Если купить ковер, длина и ширина которого на 50 см меньше длины и ширины комнаты, то он будет на 2550 р. дешевле, чем ковер, покрывающий весь пол. Найдите длину и ширину комнаты, если известно, что 1 м $^{2}$ ковра стоит 600 р.
   Решение: Пусть длина комнаты $x$ м, ширина $x - 1$ м.
   Площадь комнаты: $x(x - 1)$.
   Площадь меньшего ковра: $(x - 0,5)(x - 1,5)$.
   Разница стоимости: $600[x(x - 1) - (x - 0,5)(x - 1,5)] = 2550$.
   Решаем уравнение: $x = 5,5$ м, ширина $4,5$ м.
   Ответ: 5,5 м и 4,5 м.
9. На координатной прямой даны две точки $\mathrm{A}(a)$ и $\mathrm{B}(b)$, причем $a=\frac{(0,04)^{2}-(0,2)^{2}}{(-0,04)^{2} \cdot(-3)}-\left(-1 \frac{1}{8}\right)^{3} \cdot\left(-1 \frac{1}{3}\right)^{5}$ и $b=\frac{7,46^{3}+6,26^{3}}{13,72}-7,46 \cdot 6,26$. Найдите расстояние между точками А и В.
   Решение: Вычисляем $a$ и $b$:
   $a = 8 - \left(-\frac{729}{512}\right) = 8 + \frac{729}{512} = \frac{4825}{512} \approx 9,423$.
   $b = (7,46 - 6,26)^2 = 1,2^2 = 1,44$.
   Расстояние: $|a - b| = |9,423 - 1,44| = 7,983$.
   Ответ: 7,983.
10. Углы равнобедренного треугольника пропорциональны числам 2 и 5. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
    Решение: Возможные случаи:
    1) Углы при основании $2x$, вершина $5x$: $2x + 2x + 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. Углы: $40^\circ$, $40^\circ$, $100^\circ$.
    Биссектрисы углов $100^\circ$ и $40^\circ$ образуют углы $50^\circ$ и $20^\circ$ с основанием.
    Угол между биссектрисами: $180^\circ - 50^\circ - 20^\circ = 110^\circ$.
    Ответ: $110^\circ$.