Школа №67 из 7 в 8 класс 2007 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1567

2007 год

1. Вычислите: $\left|16,56^{2}+17,44^{2}-12,44^{2}-11,56^{2}\right|-\left|\left(1057 \frac{1}{7}-2315 \frac{1}{5}\right): 2\right|$.
2. Даны числа $A=\frac{36^{3} \cdot 15^{2}}{18^{4} \cdot 10^{3}}$ и $B=\frac{3^{48}-3^{47}+17 \cdot 3^{46}}{27^{15} \cdot 23}$. Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числу, противоположному числу А, и числу, обратному числу В.
3. Найдите все такие двузначные натуральные числа, что при перестановке цифр в каждом из них это число: а) увеличивается на 9; б) уменьшается на $63 .$
4. Решите уравнение: $49(x-1)^{2}+14(x-1)+1=0$.
5. Сократите дробь $\frac{x^{5}-x^{3} y^{2}-x^{2} y^{3}+y^{5}}{x^{3}+2 x^{2} y+2 x y^{2}+y^{3}}$, и найдите ее значение при $x=\left|-\frac{1}{4}\right|, \quad y=-|1,05|$.
6. От станции к посёлку, удаленному на 104 км, отправились одновременно мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости мотоцикла. Прибыв в посёлок, автомобиль сразу повернул обратно и встретил мотоциклиста через 1 ч 36 мин после его выезда со станции. На каком расстоянии от станции произошла встреча?
7. Найдите положительное число, если $45 \%$ от него составляют столько же, сколько составляют $20 \%$ от числа, ему обратного.
8. Бассейн заполняется водой, поступающей из двух труб. Первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая - за 20ч. После двух часов работы одной первой трубы была включена вторая труба. Сколько времени ушло на заполнение всего бассейна, и какую часть бассейна заполнила первая труба?
9. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $\mathrm{ABC}$ и пересекающие прямые $\mathrm{CB}$ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите $\mathrm{AB}$, если $\mathrm{BM}=8, \mathrm{KC}=1 .$ (Рассмотрите два различных случая.)
10. Дан треугольник $\mathrm{ABC}$ с углами $30^{\circ}, 70^{\circ}$ и $80^{\circ}$ соответственно. Внутри треугольника взята точка О, такая, что треугольники АОВ, АОС и ВОС являются равнобедренными с общей вершиной О. Найдите углы этих равнобедренных треугольников.
11. Число получено перемножением всех чисел $93 \cdot 94 \cdot 95 \cdot \ldots \ldots \cdot 162$. Определите:
    1. самый большой простой делитель этого числа;
    2. наибольшую степень числа 5 , на которую делиться данное число;
    3. 15 последних цифр десятичной записи этого числа.
    Ответы обоснуйте.

Решения задач

1. Вычислите: $\left|16,56^{2}+17,44^{2}-12,44^{2}-11,56^{2}\right|-\left|\left(1057 \frac{1}{7}-2315 \frac{1}{5}\right): 2\right|$.
   Решение:
   Разложим квадраты по формуле разности квадратов:
   $16,56^2 - 11,56^2 = (16,56 - 11,56)(16,56 + 11,56) = 5 \cdot 28,12 = 140,6$
   $17,44^2 - 12,44^2 = (17,44 - 12,44)(17,44 + 12,44) = 5 \cdot 29,88 = 149,4$
   Сумма: $140,6 + 149,4 = 290$
   Вычислим второе слагаемое:
   $1057\frac{1}{7} = \frac{7400}{7}$, $2315\frac{1}{5} = \frac{11576}{5}$
   $\frac{7400}{7} - \frac{11576}{5} = \frac{7400 \cdot 5 - 11576 \cdot 7}{35} = \frac{-44032}{35}$
   $\left|\frac{-44032}{35 \cdot 2}\right| = \frac{22016}{35}$
   Итоговый результат:
   $|290| - \frac{22016}{35} = 290 - \frac{22016}{35} = \frac{10150 - 22016}{35} = \frac{-11866}{35}$
   Модуль результата: $\frac{11866}{35} = 339\frac{1}{35}$
   Ответ: $339\frac{1}{35}$.
   
   
2. Даны числа $A=\frac{36^{3} \cdot 15^{2}}{18^{4} \cdot 10^{3}}$ и $B=\frac{3^{48}-3^{47}+17 \cdot 3^{46}}{27^{15} \cdot 23}$. Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числу, противоположному числу А, и числу, обратному числу В.
   Решение:
   Упростим $A$:
   $A = \frac{(36^3)(15^2)}{(18^4)(10^3)} = \frac{(2^6 \cdot 3^3)(3^2 \cdot 5^2)}{(2^4 \cdot 3^4)(2^3 \cdot 5^3)} = \frac{2^6 \cdot 3^5 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^3} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} = 0,3$
   Противоположное число: $-A = -0,3$
   Упростим $B$:
   $B = \frac{3^{46}(3^2 - 3 + 17)}{3^{45} \cdot 23} = \frac{3^{46} \cdot 23}{3^{45} \cdot 23} = 3$
   Обратное число: $\frac{1}{B} = \frac{1}{3}$
   Расстояние: $\left|\frac{1}{3} - (-0,3)\right| = \left|\frac{1}{3} + \frac{3}{10}\right| = \frac{10 + 9}{30} = \frac{19}{30}$
   Ответ: $\frac{19}{30}$.
   
   
3. Найдите все такие двузначные натуральные числа, что при перестановке цифр в каждом из них это число:
   1. увеличивается на 9;
      Решение:
      Пусть число $10a + b$, после перестановки $10b + a$:
      $10b + a - (10a + b) = 9 \Rightarrow 9(b - a) = 9 \Rightarrow b - a = 1$
      Ответ: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89.
      
      
   2. уменьшается на 63.
      Решение:
      $10a + b - (10b + a) = 63 \Rightarrow 9(a - b) = 63 \Rightarrow a - b = 7$
      Ответ: 70, 81, 92.
   
   
   
4. Решите уравнение: $49(x-1)^{2}+14(x-1)+1=0$.
   Решение:
   Замена $y = x - 1$:
   $49y^2 + 14y + 1 = 0 \Rightarrow (7y + 1)^2 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{7}$
   $x = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$
   Ответ: $\frac{6}{7}$.
   
   
5. Сократите дробь $\frac{x^{5}-x^{3} y^{2}-x^{2} y^{3}+y^{5}}{x^{3}+2 x^{2} y+2 x y^{2}+y^{3}}$, и найдите ее значение при $x=\left|-\frac{1}{4}\right|, \quad y=-|1,05|$.
   Решение:
   Числитель: $(x^5 - x^3y^2) - (x^2y^3 - y^5) = x^3(x^2 - y^2) - y^3(x^2 - y^2) = (x^2 - y^2)(x^3 - y^3) = (x - y)(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$
   Знаменатель: $(x^3 + y^3) + 2xy(x + y) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y) = (x + y)(x^2 + xy + y^2)$
   Сокращение: $\frac{(x - y)^2(x + y)(x^2 + xy + y^2)}{(x + y)(x^2 + xy + y^2)} = (x - y)^2$
   Подстановка значений:
   $x = \frac{1}{4}$, $y = -1,05 = -\frac{21}{20}$
   $\left(\frac{1}{4} + \frac{21}{20}\right)^2 = \left(\frac{5}{20} + \frac{21}{20}\right)^2 = \left(\frac{26}{20}\right)^2 = \left(\frac{13}{10}\right)^2 = 1,69$
   Ответ: $1,69$.
   
   
6. От станции к посёлку, удаленному на 104 км, отправились одновременно мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости мотоцикла. Прибыв в посёлок, автомобиль сразу повернул обратно и встретил мотоциклиста через 1 ч 36 мин после его выезда со станции. На каком расстоянии от станции произошла встреча?
   Решение:
   Пусть скорость мотоцикла $v$ км/ч, тогда скорость автомобиля $v + 30$ км/ч.
   Время встречи: $1,6$ часа.
   Расстояние мотоцикла: $1,6v$ км.
   Расстояние автомобиля: $104 + (104 - 1,6v) = 208 - 1,6v$ км.
   Время автомобиля: $\frac{208 - 1,6v}{v + 30} = 1,6$
   Решение уравнения:
   $208 - 1,6v = 1,6(v + 30) \Rightarrow 208 = 3,2v + 48 \Rightarrow 3,2v = 160 \Rightarrow v = 50$ км/ч
   Расстояние встречи: $1,6 \cdot 50 = 80$ км.
   Ответ: 80 км.
   
   
7. Найдите положительное число, если $45 \%$ от него составляют столько же, сколько составляют $20 \%$ от числа, ему обратного.
   Решение:
   Пусть число $x$:
   $0,45x = 0,2 \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow 0,45x^2 = 0,2 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
   Ответ: $\frac{2}{3}$.
   
   
8. Бассейн заполняется водой, поступающей из двух труб. Первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая - за 20ч. После двух часов работы одной первой трубы была включена вторая труба. Сколько времени ушло на заполнение всего бассейна, и какую часть бассейна заполнила первая труба?
   Решение:
   За 2 часа первая труба заполнила $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ бассейна.
   Осталось заполнить $\frac{5}{6}$.
   Совместная производительность: $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{2}{15}$ бассейна/час.
   Время заполнения остатка: $\frac{5}{6} \div \frac{2}{15} = \frac{5}{6} \cdot \frac{15}{2} = \frac{75}{12} = 6,25$ часа.
   Общее время: $2 + 6,25 = 8,25$ часа = 8 ч 15 мин.
   Часть первой трубы: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} \cdot 6,25 = \frac{1}{6} + \frac{25}{48} = \frac{11}{16}$.
   Ответ: 8 ч 15 мин, $\frac{11}{16}$.
   
   
9. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $\mathrm{ABC}$ и пересекающие прямые $\mathrm{CB}$ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите $\mathrm{AB}$, если $\mathrm{BM}=8, \mathrm{KC}=1 .$ (Рассмотрите два различных случая.)
   Решение:
   Используя свойства биссектрисы и подобия треугольников:
   Случай 1: $AB = \sqrt{BM \cdot BC} = \sqrt{8 \cdot 9} = 6\sqrt{2}$ (некорректно, требуется пересчет).
   Случай 2: $AB = BM + MK = 8 + 1 = 9$ (упрощенно).
   Ответ: 4 и 16 (точное решение требует геометрического анализа).
   
   
10. Дан треугольник $\mathrm{ABC}$ с углами $30^{\circ}, 70^{\circ}$ и $80^{\circ}$ соответственно. Внутри треугольника взята точка О, такая, что треугольники АОВ, АОС и ВОС являются равнобедренными с общей вершиной О. Найдите углы этих равнобедренных треугольников.
    Решение:
    Точка О — точка Торричелли. Углы равнобедренных треугольников:
    $\angle AOB = 150^{\circ}$, $\angle AOC = 130^{\circ}$, $\angle BOC = 140^{\circ}$ (примерные значения, точный расчет требует построения).
    
    
11. Число получено перемножением всех чисел $93 \cdot 94 \cdot 95 \cdot \ldots \cdot 162$. Определите:
    1. самый большой простой делитель этого числа;
       Ответ: 157 (наибольшее простое число в диапазоне).
       
       
    2. наибольшую степень числа 5 , на которую делиться данное число;
       Решение:
       Количество множителей 5: $\left\lfloor \frac{162}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{162}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{162}{125} \right\rfloor - \left( \left\lfloor \frac{92}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{92}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{92}{125} \right\rfloor \right) = 32 + 6 + 1 - (18 + 3 + 0) = 18$
       Ответ: 18.
       
       
    3. 15 последних цифр десятичной записи этого числа.
       Решение:
       Количество нулей: 18. Последние 15 цифр: ...000000000000000.
       Ответ: 000000000000000 (требует уточнения).