Школа №67 из 7 в 8 класс 2006 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1567

2006 год

Вариант 1

1. Вычислить: а) $\mid\left(12,64^{2}+11,86^{2}-14,36^{2}-15,14^{2}|-|\left(10 \frac{2}{3}-5 \frac{1}{3}\right): 3 \frac{1}{3} \mid\right.$ б) $2379 \cdot 23782378-2378 \cdot 23792379$;
2. Даны числа $\mathrm{A}=\frac{36^{3} \cdot 15^{2}}{18^{4} \cdot 10^{3}} \quad$ и $\quad \mathrm{B}=\frac{3^{48}-3^{47}+17 \cdot 3^{46}}{27^{15} \cdot 23} .$ Найдите расстояние между точками, которые соответствуют числу, противоположному числу А, и числу, обратному числу В.
3. Пусть $a+\frac{1}{a}=5$. Найдите: $\quad a^{2}+a^{3}+\frac{1}{a^{2}}++\frac{1}{a^{3}}$.
4. Решите уравнение: $(x-2)^{3}-x(1-2 x)^{2}+(3 x+1)\left(9 x^{2}-3 x+1\right)=24 x^{3}-2 x^{2}$.
5. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит медиану, проведенную из другого угла при основании, пополам. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 20 см.
6. Докажите, что число $1000^{1000}-1$ является составным. Укажите не менее пяти его делителей.
7. Оксана делает некоторую работу за 7 часов, Марина за 6 часа, а Борис Викторович за 3 часа. После того, как Оксана сделала половину все работы, к ней присоединились Марина и Борис Викторович. За какое время была сделана вся работа и какую ее часть сделала Марина?
8. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч .Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до поселка. Найдите это расстояние.
9. Найдите положительное число, если $27 \%$ от него равны $90 \%$ от его квадрата.
10. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел при делении на 3 дает остаток $2 .$

Решения задач

1. 1. Вычислить: $\mid\left(12,64^{2}+11,86^{2}-14,36^{2}-15,14^{2}\right)-|\left(10 \frac{2}{3}-5 \frac{1}{3}\right): 3 \frac{1}{3} \mid|$
      Решение:
      Вычислим квадраты:
      $12,64^2 = 159,7696$; $11,86^2 = 140,6596$; $14,36^2 = 206,2096$; $15,14^2 = 229,2196$
      Сумма первых двух: $159,7696 + 140,6596 = 300,4292$
      Сумма вторых двух: $206,2096 + 229,2196 = 435,4292$
      Разность: $300,4292 - 435,4292 = -135$
      Вычислим дробь:
      $\left(10\frac{2}{3} - 5\frac{1}{3}\right) : 3\frac{1}{3} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} : \frac{10}{3} = \frac{16}{10} = 1,6$
      Модуль разности: $|-135 - 1,6| = |-136,6| = 136,6$
      Ответ: 136,6.
      
      
   2. Вычислить: $2379 \cdot 23782378 - 2378 \cdot 23792379$
      Решение:
      Заметим, что $23782378 = 2378 \cdot 10001$, а $23792379 = 2379 \cdot 10001$
      Тогда выражение преобразуется:
      $2379 \cdot 2378 \cdot 10001 - 2378 \cdot 2379 \cdot 10001 = 0$
      Ответ: 0.
2. Даны числа $\mathrm{A}=\frac{36^{3} \cdot 15^{2}}{18^{4} \cdot 10^{3}}$ и $\mathrm{B}=\frac{3^{48}-3^{47}+17 \cdot 3^{46}}{27^{15} \cdot 23}$. Найдите расстояние между точками, соответствующими числу, противоположному числу А, и числу, обратному числу В.
   Решение:
   Упростим А:
   $\frac{(6^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3} = \frac{6^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$
   Упростим B:
   $\frac{3^{46}(3^2 - 3 + 17)}{(3^3)^{15} \cdot 23} = \frac{3^{46} \cdot 23}{3^{45} \cdot 23} = 3$
   Противоположное А: $-0,1$; обратное B: $\frac{1}{3}$
   Расстояние: $| -0,1 - \frac{1}{3} | = | -\frac{13}{30} | = \frac{13}{30}$
   Ответ: $\frac{13}{30}$.
3. Пусть $a+\frac{1}{a}=5$. Найдите: $a^{2}+a^{3}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{3}}$.
   Решение:
   Возведем исходное равенство в квадрат:
   $(a + \frac{1}{a})^2 = 25 \Rightarrow a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 25 \Rightarrow a^2 + \frac{1}{a^2} = 23$
   Вычислим сумму кубов:
   $a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}) = 5 \cdot (23 - 1) = 110$
   Итоговая сумма: $23 + 110 = 133$
   Ответ: 133.
4. Решите уравнение: $(x-2)^{3}-x(1-2x)^{2}+(3x+1)(9x^{2}-3x+1)=24x^{3}-2x^{2}$.
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - x(1 - 4x + 4x^2) + (27x^3 + 1) = 24x^3 - 2x^2$
   Упростим:
   $x^3 -6x^2 +12x -8 -x +4x^2 -4x^3 +27x^3 +1 = 24x^3 -2x^2$
   Соберем подобные:
   $(x^3 -4x^3 +27x^3) + (-6x^2 +4x^2) + (12x -x) + (-8+1) = 24x^3 -2x^2$
   $24x^3 -2x^2 +11x -7 = 24x^3 -2x^2$
   Сократим одинаковые слагаемые:
   $11x -7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{11}$
   Ответ: $\frac{7}{11}$.
5. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит медиану, проведенную из другого угла при основании, пополам. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 20 см.
   Решение:
   Пусть основание BC = b, боковые стороны AB = AC = a. Периметр: $2a + b = 20$.
   Рассмотрим медиану AM к BC и биссектрису BD угла B. По условию BD делит AM пополам. Используя теорему о биссектрисе и свойства медиан, получим соотношение:
   $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{b}$
   Из подобия треугольников и условия деления медианы пополам получим:
   $a = 2b$
   Решая систему:
   $\begin{cases} 2a + b = 20 \\ a = 2b \end{cases} \Rightarrow 5b = 20 \Rightarrow b = 4$ см, $a = 8$ см
   Ответ: 8 см, 8 см, 4 см.
6. Докажите, что число $1000^{1000}-1$ является составным. Укажите не менее пяти его делителей.
   Решение:
   $1000^{1000} -1 = (10^3)^{1000} -1 = 10^{3000} -1$
   Используем формулу разности степеней:
   $10^{3000} -1 = (10^{1000} -1)(10^{2000} + 10^{1000} + 1)$
   Также можно продолжить разложение:
   $10^{1000} -1 = (10^{500} -1)(10^{500} +1)$ и т.д.
   Делители: 9, 99, 999, 10^{1000}-1, 10^{2000}+10^{1000}+1, 3, 11, 111 и др.
   Ответ: Составное, делители: 3, 9, 11, 111, 999.
7. Оксана делает работу за 7 часов, Марина за 6 часов, Борис Викторович за 3 часа. После половины работы к Оксане присоединились Марина и Борис. За какое время была сделана вся работа и какую часть сделала Марина?
   Решение:
   Пусть работа равна 1. Оксана за 1 час делает $\frac{1}{7}$ работы. Половина работы выполнена за $3,5$ часа.
   Совместная скорость после подключения:
   $\frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 7 + 14}{42} = \frac{27}{42} = \frac{9}{14}$ работы/час
   Оставшаяся половина работы будет выполнена за:
   $\frac{1}{2} : \frac{9}{14} = \frac{7}{9}$ часа $\approx 0,777$ часа
   Общее время: $3,5 + \frac{7}{9} = \frac{35}{9} \approx 3,89$ часа
   Часть Марины: $\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{54} \approx 0,13$
   Ответ: $\frac{35}{9}$ часа (≈3,89 ч), $\frac{7}{54}$.
8. Путь от города до поселка автомобиль проезжает за 2,5 ч. При увеличении скорости на 20 км/ч за 2 часа он проедет на 15 км больше расстояния. Найдите расстояние.
   Решение:
   Пусть исходная скорость $v$ км/ч, расстояние $S = 2,5v$
   Новое расстояние: $2(v + 20) = S + 15$
   Подставим S:
   $2v + 40 = 2,5v + 15 \Rightarrow 0,5v = 25 \Rightarrow v = 50$ км/ч
   Расстояние: $2,5 \cdot 50 = 125$ км
   Ответ: 125 км.
9. Найдите положительное число, если $27\%$ от него равны $90\%$ от его квадрата.
   Решение:
   Уравнение: $0,27x = 0,9x^2$
   Разделим обе части на $x \neq 0$:
   $0,27 = 0,9x \Rightarrow x = \frac{0,27}{0,9} = 0,3$
   Ответ: 0,3.
10. Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел при делении на 3 дает остаток 2.
    Решение:
    Пусть числа: $n-1$, $n$, $n+1$
    Сумма квадратов:
    $(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = n^2 - 2n +1 + n^2 + n^2 + 2n +1 = 3n^2 + 2$
    При делении на 3: $3n^2$ делится на 3, остаток 2
    Ответ: Доказано.