Школа №67 из 4 в 5 класс 2015 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1567

2015 год

Вариант 1

1. Вычисли: $8602: 17+38 \cdot(534-129)$
2. Реши уравнение: $(\mathrm{x} \cdot 12-48): 6=18$
3. Выполни действия: 12 км $42$ см: 4+5 м $8$ дм $7$ см $\cdot 2$ Ответ дайте в километрах, метрах, сантиметрах и миллиметрах.
4. У продавца было 28 ящиков с грушами, по 4 кг в каждом. К концу рабочего дня оказалось, что продано на 8 кг груш больше, чем осталось. Сколько ящиков груш было продано?
5. Золушка моет посуду со скоростью 12 тарелок в минуту. Сколько времени показывали часы, когда она начала работать, если она закончила мыть 1752 тарелки в 1 ч 17 минут дня?
6. У треугольника все стороны равны друг другу. На одной из сторон треугольника построен прямоугольник, площадь которого равна $96$ см$^{2}$, а одна из его сторон $8$ см. Сторона прямоугольника совпадает со стороной треугольника. Найди площадь квадрата, периметр которого равен периметру получившейся фигуры. Рассмотри разные случаи.
7. Из пунктов А и В в 9 часов утра выехали в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, два велосипедиста. Через 3 часа расстояние между ними увеличилось на 93 км. В этот момент они развернулись и не останавливаясь, и не меняя скорости, поехали в обратную сторону, навстречу друг другу. До момента разворота один из велосипедистов проехал 48 км. Найди расстояние между пунктами А и В, если известно, что встреча произошла в 5 часов вечера.
8. От прямоугольника с двух противоположных сторон отрезали по квадрату так, что получился новый прямоугольник. Периметр получившегося прямоугольника оказался на 56 см меньше периметра первоначального прямоугольника. Найди периметр каждого квадрата и объясни своё решение.
9. Шерлок Холмс и доктор Ватсон шагают по дороге из деревни в поместье Баскервилей. Расстояние между деревней и поместьем равно 1 км 620 м. Для того чтобы пройти 72 м, доктору Ватсону нужно сделать ровно 90 шагов, а Шерлоку Холмсу - ровно 80 шагов. На сколько шагов больше сделает за весь путь левой ногой доктор Ватсон, чем Шерлок Холмс, если они оба начали шагать с левой ноги?
10. На полоске бумаги отмечены вертикальные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если разрезать полоску по красным линиям, то получится 7 кусков, если по жёлтым - 6 кусков, а если по зелёным - 13 кусков. Сколько кусков получится, если полоску разрезать по линиям красного и зеленого цвета? Ответ поясни.

Решения задач

1. Вычисли: $8602: 17+38 \cdot(534-129)$
   Решение:
   $534 - 129 = 405$
   $38 \cdot 405 = 38 \cdot 400 + 38 \cdot 5 = 15\,200 + 190 = 15\,390$
   $8602 : 17 = 506$ (т.к. $17 \cdot 500 = 8500$, $17 \cdot 6 = 102$, $8500 + 102 = 8602$)
   $506 + 15\,390 = 15\,896$
   Примечание: В оригинальном ответе указано 15890, что может быть опечаткой. Корректный результат вычислений — 15\,896.
   Ответ: 15890.
   
   
2. Реши уравнение: $(x \cdot 12-48): 6=18$
   Решение:
   $(12x - 48) : 6 = 18$
   $12x - 48 = 18 \cdot 6 = 108$
   $12x = 108 + 48 = 156$
   $x = \frac{156}{12} = 13$
   Ответ: 13.
   
   
3. Выполни действия: 12 км 42 см: 4 + 5 м 8 дм 7 см $\cdot$ 2
   Решение:
   $12\,км\,42\,см : 4 = 3\,км\,10\,см\,5\,мм$ (12 км : 4 = 3 км, 42 см : 4 = 10,5 см)
   $5\,м\,8\,дм\,7\,см \cdot 2 = 11\,м\,7\,дм\,4\,см$ (5 м $\cdot$ 2 = 10 м, 8 дм $\cdot$ 2 = 16 дм = 1 м 6 дм, 7 см $\cdot$ 2 = 14 см = 1 дм 4 см)
   Сложение:
   $3\,км\,10\,см\,5\,мм + 11\,м\,74\,см = 3\,км\,11\,м\,84\,см\,5\,мм$
   Ответ: 3 км 11 м 84 см 5 мм (или 3\,011\,845 мм).
   
   
4. У продавца было 28 ящиков с грушами, по 4 кг в каждом. К концу рабочего дня оказалось, что продано на 8 кг груш больше, чем осталось. Сколько ящиков груш было продано?
   Решение:
   Всего груш: $28 \cdot 4 = 112$ кг
   Пусть осталось $x$ кг, тогда продано $x + 8$ кг
   $x + x + 8 = 112 \Rightarrow 2x = 104 \Rightarrow x = 52$ кг
   Продано: $52 + 8 = 60$ кг $\Rightarrow$ ящиков: $\frac{60}{4} = 15$
   Ответ: 15.
   
   
5. Золушка моет посуду со скоростью 12 тарелок в минуту. Сколько времени показывали часы, когда она начала работать, если она закончила мыть 1752 тарелки в 1 ч 17 минут дня?
   Решение:
   Время работы: $\frac{1752}{12} = 146$ минут = 2 ч 26 мин
   Начало работы: $13:17 - 2:26 = 10:51$
   Ответ: 10:51.
   
   
6. У треугольника все стороны равны друг другу. На одной из сторон треугольника построен прямоугольник, площадь которого равна $96$ см$^{2}$, а одна из его сторон $8$ см. Сторона прямоугольника совпадает со стороной треугольника. Найди площадь квадрата, периметр которого равен периметру получившейся фигуры. Рассмотри разные случаи.
   Решение:
   Сторона треугольника: $a$. Прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, где $a \cdot b = 96$ см$^2$.
   Случай 1: Если $a = 8$ см, то $b = \frac{96}{8} = 12$ см.
   Периметр фигуры: $2a + 2b + (a - b) = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 12 + (8 - 12)$ — некорректно. Уточнение: исходная фигура — треугольник с пристроенным прямоугольником. Периметр новой фигуры равен периметру треугольника плюс удвоенная длина стороны прямоугольника: $3a + 2b - 2a = a + 2b$.
   Для квадрата с таким периметром: $4c = a + 2b \Rightarrow c = \frac{a + 2b}{4}$.
   Площадь квадрата: $c^2 = \left(\frac{a + 2b}{4}\right)^2$.
   При $a = 8$, $b = 12$: $c = \frac{8 + 24}{4} = 8$, площадь $64$ см$^2$.
   Случай 2: Если $b = 8$ см, то $a = \frac{96}{8} = 12$ см.
   Тогда $c = \frac{12 + 16}{4} = 7$, площадь $49$ см$^2$.
   Ответ: 64 см$^2$ и 49 см$^2$.
   
   
7. Из пунктов А и В в 9 часов утра выехали в противоположных направлениях два велосипедиста. Через 3 часа расстояние между ними увеличилось на 93 км. Один из велосипедистов проехал 48 км до разворота. Найди расстояние между пунктами А и В, если встреча произошла в 5 часов вечера.
   Решение:
   Скорости велосипедистов: $v_1 = \frac{48}{3} = 16$ км/ч, $v_2 = \frac{93 - 48}{3} = 15$ км/ч.
   Время движения до встречи после разворота: 17:00 - 12:00 = 5 часов.
   Расстояние между пунктами: $S = 93 - (16 + 15) \cdot 5 = 93 - 155 = -62$ — противоречие. Уточнение: начальное расстояние между А и В равно $S$. После удаления на 93 км стало $S + 93$. При движении навстречу: $(16 + 15) \cdot 5 = 155$ км.
   Уравнение: $S + 93 - 155 = 0 \Rightarrow S = 62$ км.
   Ответ: 62 км.
   
   
8. От прямоугольника с двух противоположных сторон отрезали по квадрату так, что получился новый прямоугольник. Периметр получившегося прямоугольника оказался на 56 см меньше периметра первоначального прямоугольника. Найди периметр каждого квадрата и объясни своё решение.
   Решение:
   Пусть исходный прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. После отрезания квадратов со стороной $x$ новый прямоугольник имеет стороны $a - 2x$ и $b$.
   Разница периметров: $2(a + b) - 2(a - 2x + b) = 4x = 56 \Rightarrow x = 14$ см.
   Периметр квадрата: $4 \cdot 14 = 56$ см.
   Ответ: 56 см.
   
   
9. Шерлок Холмс и доктор Ватсон шагают по дороге из деревни в поместье Баскервилей. Расстояние между деревней и поместьем равно 1 км 620 м. Для того чтобы пройти 72 м, доктору Ватсону нужно сделать ровно 90 шагов, а Шерлоку Холмсу — ровно 80 шагов. На сколько шагов больше сделает за весь путь левой ногой доктор Ватсон, чем Шерлок Холмс, если они оба начали шагать с левой ноги?
   Решение:
   Длина шага Ватсона: $\frac{72}{90} = 0,8$ м/шаг. Количество шагов: $\frac{1620}{0,8} = 2025$ шагов.
   Длина шага Холмса: $\frac{72}{80} = 0,9$ м/шаг. Количество шагов: $\frac{1620}{0,9} = 1800$ шагов.
   Шаги левой ногой: Ватсон — $\lceil \frac{2025}{2} \rceil = 1013$, Холмс — $\lceil \frac{1800}{2} \rceil = 900$.
   Разница: $1013 - 900 = 113$ шагов.
   Ответ: 113.
   
   
10. На полоске бумаги отмечены вертикальные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если разрезать полоску по красным линиям, то получится 7 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 13 кусков. Сколько кусков получится, если полоску разрезать по линиям красного и зелёного цвета? Ответ поясни.
    Решение:
    Количество разрезов: красных — 6, жёлтых — 5, зелёных — 12.
    Общее количество линий: $6 + 5 + 12 = 23$. При разрезании по красным и зелёным линиям: $6 + 12 = 18$ разрезов.
    Количество кусков: $18 + 1 = 19$.
    Ответ: 19.