Школа №1567 из 4 в 5 класс 2021 год вариант 3

1. Вычислите рационально: \[ 378 \cdot 869 + 622 \] Ответ: $\underline{\hspace{4cm}}$
   
   
2. Решите уравнение: \[ 186 : (x : 12 + 25) = 6 \] Ответ: $\underline{\hspace{4cm}}$
   
   
3. Оригинальная задача: Караван проходит по пустыне мимо путника и баобаба и идёт к роднику. В тот момент, когда от него до родника оставалось на 120 метров меньше, чем от родника до баобаба, от путника до баобаба было на 410 метров ближе, чем от путника до родника. Сколько в этот момент оставалось пройти каравану до родника?
   Ответ: $\underline{\hspace{3cm}} м$
   
   Дополнения:
   1. расстояние от родника до Путника больше, чем расстояние от родника до баобаба;
   2. расстояние от родника до Путника меньше, чем расстояние от родника до баобаба.
   
   
   
4. Мальчик и девочка носят воду вёдрами из колодца. Бочка в 70 л наполнится, если мальчик выльет в неё 5 своих полных вёдер, а девочка добавит к ним 6 своих полных вёдер. Бочка в 83 л наполнится, если мальчик выльет в неё 6 своих полных вёдер, а девочка добавит к ним 7 своих. Сколько раз им надо вместе сходить за водой, чтобы бочка в 100 л оказалась полной?
   Дополнения: в бочку 83 л девочка добавляет 7 полных вёдер.
   Ответ: $\underline{\hspace{6cm}}$
   
   
5. Два бобра одновременно с двух сторон начали перегрызать осиновый ствол. Один бобр грыз со скоростью 5 см/ч. За час работы он догрыз одну треть ствола и ушёл дремать. Другой бобр, трудившийся в одиночестве 3 часа, догрыз осину до места, где её бобры перегрызли. С какой скоростью грыз ствол второй бобр? Ответ напишите в миллиметрах в час.
   Ответ: $\underline{\hspace{3cm}} мм/ч$
   
   
6. На рисунке:
   
   
   
   
   Перечислите все треугольники, которые есть на рисунке. Образец: $\triangle ABF$,
   Дополнительные вопросы:
   b) Напишите количество треугольников, которые есть на рисунке:
   Ответ: $\underline{\hspace{2cm}} шт$

Решения задач

1. Вычислите рационально: \[ 378 \cdot 869 + 622 \]
   Решение: Заметим, что $378 + 622 = 1000$. Преобразуем исходное выражение: \[ 378 \cdot 869 + 622 = 378 \cdot 869 + 622 \cdot 1 = 378 \cdot 869 + (1000 - 378) = 378 \cdot (869 - 1) + 1000 = 378 \cdot 868 + 1000 \] Вычисляем $378 \cdot 868$: \[ 378 \cdot 800 = 302400; \quad 378 \cdot 60 = 22680; \quad 378 \cdot 8 = 3024 \] \[ 302400 + 22680 + 3024 = 328104 \] Добавляем 1000: \[ 328104 + 1000 = 329104 \]
   Ответ: $\boxed{329104}.$
2. Решите уравнение: \[ 186 : (x : 12 + 25) = 6 \]
   Решение: \[ 186 : (x : 12 + 25) = 6 \quad \Big| \cdot (x : 12 + 25) \] \[ 6 \cdot (x : 12 + 25) = 186 \] \[ x : 12 + 25 = 31 \] \[ x : 12 = 6 \quad \Big| \cdot 12 \] \[ x = 72 \]
   Ответ: $\boxed{72}.$
3. Караван проходит по пустыне мимо путника и баобаба и идёт к роднику. В тот момент, когда от него до родника оставалось на 120 метров меньше, чем от родника до баобаба, от путника до баобаба было на 410 метров ближе, чем от путника до родника. Сколько в этот момент оставалось пройти каравану до родника?
   Решение: Пусть $x$ метров — расстояние от каравана до родника. По условию: \[ x = (S_{РБ} - 120) \quad \text{и} \quad (S_{РП} - S_{РБ}) = S_{РП} - 410 \] Тогда $S_{РБ} = 410$ метров. Подставляем: \[ x = 410 - 120 = 290 \]
   Ответ: $\boxed{290} м.$
4. Бочка в 70 л наполнится, если мальчик выльет в неё 5 своих полных вёдер, а девочка добавит к ним 6 своих полных вёдер. Бочка в 83 л наполнится, если мальчик выльет в неё 6 своих полных вёдер, а девочка добавит к ним 7 своих. Сколько раз им надо вместе сходить за водой, чтобы бочка в 100 л оказалась полной?
   Решение: Обозначим объём ведра мальчика за $m$, девочки — $d$. Составляем систему: \[ \begin{cases} 5m + 6d = 70 \\ 6m + 7d = 83 \end{cases} \] Вычитаем уравнения: \[ (6m + 7d) - (5m + 6d) = 83 - 70 \Rightarrow m + d = 13 \quad \Rightarrow \quad m = 13 - d \] Подставляем в первое уравнение: \[ 5(13 - d) + 6d = 70 \Rightarrow d = 5; \quad m = 8 \] Для бочки в 100 л требуется: \[ 8x + 5y = 100 \] Минимальное количество походов достигается при $(x, y) = (10, 4)$: \[ 8 \cdot 10 + 5 \cdot 4 = 100 \Rightarrow x + y = 14 \]
   Ответ: $\boxed{14} раз.$
5. Два бобра одновременно начали перегрызать осиновый ствол. Первый бобр грыз со скоростью 5 см/ч и перегрыз треть ствола. Второй бобр грыз оставшуюся часть 3 часа. С какой скоростью грыз второй бобр?
   Решение: Пусть длина ствола $L$. Первый бобр за 1 час перегрыз: \[ 5 \, \text{см} = \frac{L}{3} \quad \Rightarrow \quad L = 15 \, \text{см} \] Оставшаяся часть: \[ 15 - 5 = 10 \, \text{см} \] Скорость второго бобра: \[ v = \frac{10 \, \text{см}}{3 \, \text{ч}} = \frac{100}{3} \, \text{мм/ч} \]
   Ответ: $\boxed{33\frac{1}{3}} мм/ч.$
6. Перечислите все треугольники на рисунке. Напишите количество треугольников.
   Решение: Треугольники на рисунке: $\triangle ABF$, $\triangle ABD$, $\triangle ADE$, $\triangle ADG$, $\triangle BCD$, $\triangle BCE$, $\triangle BEC$, $\triangle BEG$, $\triangle CDE$, $\triangle CEF$, $\triangle CGH$, $\triangle DEF$.
   Всего: $\boxed{12} шт.$