Школа №57 из 8 в 9 класс 2018 год Вариант 1

ШКОЛА №57

2018 год

10.04.2018

1. Докажите, что если \(6n + 11m\) делится на 31, то \(n + 7m\) также делится на 31.
   
   
2. Изобразите на координатной плоскости \(xOy\) множество точек с координатами \((x, y)\), удовлетворяющими условию: \[ \max(2x, y) = \min(x, 2y) = 2x + 10. \] Ответ обоснуйте. (Через \(\max(a, b)\) обозначается наибольшее из чисел \(a, b\); через \(\min(a, b)\) — наименьшее.)
   
   
3. В выражении \[ ((x - 4)(x^2 + 3)(x^3 - 2)(x^4 + 1))^{10} \] раскрыли скобки и привели подобные члены. Получился многочлен \(a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \ldots + a_0\). Вычислите сумму \(a_{99} + a_{97} + a_{95} + \ldots + a_1\).
   
   
4. Рассмотрим всевозможные 10-значные числа, все цифры которых различны. Каких среди них больше и на сколько: тех, в которых единица стоит ближе к нулю, чем к двойке, или тех, в которых единица стоит ближе к двойке, чем к нулю?
   
   
5. Сколько есть способов расставить шесть ладей на доске \(6 \times 6\) так, чтобы никакие две не били друг друга и никакие две не располагались симметрично относительно центра доски?
   
   
6. В треугольнике \(ABC\) известны углы \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle C = 15^\circ \). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) отмечена точка \(D\). Известно, что \(BD = 2AB\). Найдите \( \angle ADC \).

Решения задач

1. Докажите, что если \(6n + 11m\) делится на 31, то \(n + 7m\) также делится на 31.
   Решение:
   Пусть \(6n + 11m \equiv 0 \pmod{31}\). Найдём обратный элемент к 6 по модулю 31. Так как \(6 \cdot 5 = 30 \equiv -1 \pmod{31}\), то \(6^{-1} \equiv -5 \equiv 26 \pmod{31}\). Тогда: \[ n \equiv -11m \cdot 26 \equiv -286m \equiv -7m \equiv 24m \pmod{31}. \] Подставляя в \(n + 7m\): \[ n + 7m \equiv 24m + 7m \equiv 31m \equiv 0 \pmod{31}. \] Ответ: Доказано.
   
   
2. Изобразите на координатной плоскости \(xOy\) множество точек с координатами \((x, y)\), удовлетворяющими условию: \[ \max(2x, y) = \min(x, 2y) = 2x + 10. \]
   Решение:
   Из условия \(\max(2x, y) = 2x + 10\) следует, что \(y = 2x + 10\) и \(y \geq 2x\). Из \(\min(x, 2y) = 2x + 10\) следует, что \(2y = 2x + 10\) (так как \(2y \leq x\) противоречит \(y \geq 2x\)). Подставляя \(y = 2x + 10\) в \(2y = 2x + 10\), получаем: \[ 2(2x + 10) = 2x + 10 \implies 4x + 20 = 2x + 10 \implies 2x = -10 \implies x = -5. \] Тогда \(y = 2(-5) + 10 = 0\). Проверка: \(\max(2(-5), 0) = \max(-10, 0) = 0\), \(\min(-5, 0) = -5\). Условие не выполняется.
   Ответ: Нет таких точек.
   
   
3. В выражении \[ ((x - 4)(x^2 + 3)(x^3 - 2)(x^4 + 1))^{10} \] раскрыли скобки и привели подобные члены. Получился многочлен \(a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \ldots + a_0\). Вычислите сумму \(a_{99} + a_{97} + a_{95} + \ldots + a_1\).
   Решение:
   Сумма коэффициентов при нечётных степенях равна \(\frac{P(1)^{10} - P(-1)^{10}}{2}\), где \(P(x) = (x-4)(x^2+3)(x^3-2)(x^4+1)\). Вычисляем: \[ P(1) = (-3)(4)(-1)(2) = 24, \quad P(-1) = (-5)(4)(-3)(2) = 120. \] Тогда: \[ a_{99} + a_{97} + \ldots + a_1 = \frac{24^{10} - 120^{10}}{2}. \] Ответ: \(\frac{24^{10} - 120^{10}}{2}\).
   
   
4. Рассмотрим всевозможные 10-значные числа, все цифры которых различны. Каких среди них больше и на сколько: тех, в которых единица стоит ближе к нулю, чем к двойке, или тех, в которых единица стоит ближе к двойке, чем к нулю?
   Решение:
   Для каждой позиции единицы количество перестановок, где ноль ближе к единице, равно количеству перестановок, где двойка ближе. Однако запрет на ноль в первой позиции нарушает симметрию. Для позиций единицы, где ноль вынужденно дальше, количество чисел с единицей ближе к двойке больше.
   Ответ: Тех, где единица ближе к двойке, больше на \(9 \times 8!\).
   
   
5. Сколько есть способов расставить шесть ладей на доске \(6 \times 6\) так, чтобы никакие две не били друг друга и никакие две не располагались симметрично относительно центра доски?
   Решение:
   Общее количество размещений ладей: \(6! = 720\). Учитывая симметрию, каждое размещение исключает симметричное. Таким образом, количество способов: \[ \frac{6!}{2} = 360. \] Ответ: 360.
   
   
6. В треугольнике \(ABC\) известны углы \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle C = 15^\circ \). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) отмечена точка \(D\). Известно, что \(BD = 2AB\). Найдите \( \angle ADC \).
   Решение:
   Пусть \(AB = 1\), тогда \(BD = 2\), \(AD = 3\). По теореме синусов в \(\triangle ABC\): \[ \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 15^\circ} \implies BC = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 15^\circ} = \sqrt{3} + 1. \] Координаты точек: \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(D(3,0)\). Координаты \(C\) находятся через углы. Угол \(\angle ADC\) вычисляется через векторы: \[ \cos \angle ADC = \frac{(3 - \sqrt{3})\sqrt{6}}{12} \implies \angle ADC = 75^\circ. \] Ответ: \(75^\circ\).