Школа №57 из 7 в 8 класс 2023 год Вариант 1-1

ШКОЛА №57

2023 год

1. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов может его выпить за 1 день, а стадо из 37 слонов — за 5 дней. Может ли выпить это озеро один слон, и если да, то за сколько дней?
   
   
2. В двух сосудах находится по 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину имеющейся в нём воды во второй сосуд, затем из второго переливают треть имеющейся в нём воды в первый, затем из первого переливают четверть имеющейся в нём воды во второй и т.д. Сколько воды окажется в каждом сосуде после 57 переливаний?
   
   
3. Легко оклеить поверхность куба шестью ромбами (а именно, шестью квадратами). А можно ли оклеить поверхность куба (без щелей и наложений) менее чем шестью ромбами (не обязательно одинаковыми)?
   
   
4. В ряд слева направо лежат 300 монет, правая — рубль, остальные — монеты в 1 копейку. Петя и Вася берут монеты, начиная слева, одну или две монеты за раз (начинает Петя). Какую наибольшую сумму может гарантировать себе Петя при любой игре Васи?
   
   
5. На единичном отрезке расположено несколько непересекающихся отрезков красного цвета, общая длина которых больше:
   1. \( \frac{1}{2} \)
   2. \( \frac{1}{100} \)
   Обязательно ли найдутся две красные точки на расстоянии, соответственно:
   1. \( \frac{1}{9} \)?
   2. \( \frac{1}{100} \)?

Решения задач

1. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов может его выпить за 1 день, а стадо из 37 слонов — за 5 дней. Может ли выпить это озеро один слон, и если да, то за сколько дней?
   Решение: Пусть $V$ — объём озера, $k$ — скорость притока воды в день, $s$ — скорость питья одного слона (л/день). Составим уравнения:
   Для 183 слонов: $(183s - k) \cdot 1 = V$
   Для 37 слонов: $(37s - k) \cdot 5 = V$
   Приравняем выражения для $V$:
   $183s - k = 185s - 5k$
   $4k = 2s \Rightarrow k = 0.5s$
   Подставим в первое уравнение: $V = 183s - 0.5s = 182.5s$
   Для одного слона: $(s - 0.5s) \cdot t = 182.5s \Rightarrow 0.5t = 182.5 \Rightarrow t = 365$ дней
   Ответ: Да, за 365 дней.
   
   
2. В двух сосудах находится по 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину имеющейся в нём воды во второй сосуд, затем из второго переливают треть имеющейся в нём воды в первый, затем из первого переливают четверть имеющейся в нём воды во второй и т.д. Сколько воды окажется в каждом сосуде после 57 переливаний?
   Решение: Наблюдаем периодичность:
   
   Чётные шаги: оба сосуда по 1 л
   Нечётные шаги: 0.5 л и 1.5 л
   57 — нечётное число $\Rightarrow$ после 57 переливаний:
   Ответ: 0.5 л и 1.5 л.
   
   
3. Легко оклеить поверхность куба шестью ромбами (а именно, шестью квадратами). А можно ли оклеить поверхность куба (без щелей и наложений) менее чем шестью ромбами (не обязательно одинаковыми)?
   Решение: Каждая грань куба — квадрат. Минимальное количество ромбов для покрытия куба определяется эйлеровой характеристикой. Для куба (8 вершин, 12 рёбер, 6 граней) при использовании ромбов:
   Каждый ромб покрывает 4 треугольника. Но куб имеет 6 квадратных граней, которые нельзя покрыть менее чем 6 ромбами, так как каждый ромб может покрыть максимум одну грань целиком.
   Ответ: Нет, нельзя.
   
   
4. В ряд слева направо лежат 300 монет, правая — рубль, остальные — монеты в 1 копейку. Петя и Вася берут монеты, начиная слева, одну или две монеты за раз (начинает Петя). Какую наибольшую сумму может гарантировать себе Петя при любой игре Васи?
   Решение: Стратегия Пети — оставлять после своего хода число монет, кратное 3. Тогда Вася вынужден брать 1 или 2 монеты, а Петя дополняет до кратного 3.
   300 делится на 3 $\Rightarrow$ Петя первым ходом берёт 1 монету (остаётся 299). Далее:
   Если Вася берёт 1, Петя берёт 2
   Если Вася берёт 2, Петя берёт 1
   Последние 3 монеты: Петя возьмёт рубль. Максимальная гарантированная сумма: 1 рубль.
   Ответ: 1 рубль.
   
   
5. На единичном отрезке расположено несколько непересекающихся отрезков красного цвета, общая длина которых больше:
   1. \( \frac{1}{2} \)
   2. \( \frac{1}{100} \)
   Обязательно ли найдутся две красные точки на расстоянии, соответственно:
   1. \( \frac{1}{9} \)?
      Решение: Применим принцип Дирихле. Максимальное количество "промежутков" между отрезками: $n-1$ для $n$ отрезков. Минимальная сумма промежутков: $1 - L < \frac{1}{2}$. По принципу Дирихле: $\exists$ промежуток $ \frac{1}{2} \Rightarrow n \geq 1$. Контрпример: отрезок длиной $0.6$ с одним промежутком $0.4$ — расстояние между концами $0.4 > \frac{1}{9}$. Значит, ответ: Нет.
   2. \( \frac{1}{100} \)?
      Решение: Аналогично. При $L > \frac{1}{100}$ возможна ситуация с одним отрезком длиной $0.02$, тогда расстояние между его концами и краями единичного отрезка будет $0.49 > \frac{1}{100}$. Ответ: Нет.
   Ответ: а) Нет; б) Нет.