Школа №57 из 7 в 8 класс 2022 год Вариант 1

ШКОЛА №57

2022 год

20.04.2022

1. (P.1) Бывает ли такой шестиугольник, от которого можно отрезать семиугольник прямолинейным разрезом, проходящим через две вершины шестиугольника?
   
   
2. (P.2) Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: либо выйти сразу и идти пешком, либо вызвать машину и, подождав её определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом оказывается, что:
   
   
   Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины постоянны. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от A на 6 км?
   
   
3. Пусть \(X\) и \(Y\) — две строки из одних и тех же различных символов, записанных в каком-то порядке. Обозначим \(X \# Y\) как новую строку, получаемую следующим образом: записываем \(X\), под ней — \(Y\); если под символом \(a\) из \(X\) стоит символ \(b\) из \(Y\), то под \(a\) из \(Y\) записываем \(b\). Например, если \(X = \%\$\&@!\), \(Y = @\%\&\$!\), то: \[ X \# Y = \&@!\$\% \]
   
   
   
4. (Q.1) Найдите все такие \(X\), что \(X \# 12345 = 31452\).
   
   
5. (Q.2) Докажите, что для любых строк \(X\) и \(Y\), верно: \(X \# (Y \# X) = Y\).
   
   
6. (Q.3) Для точек \(P\) и \(Q\) обозначим \(P \# Q\) — результат отражения точки \(P\) относительно точки \(Q\). Докажите: \[ (Q \# R) \# (P \# Q) = (P \# R) \# (R \# Q). \]
   
   
7. (Q.4) Придумайте две разных операции над числами, каждая из которых обладает свойством: \[ P \# (P \# Q) = Q,\quad (P \# Q) \# Q = P. \]

Решения задач

1. (P.1) Бывает ли такой шестиугольник, от которого можно отрезать семиугольник прямолинейным разрезом, проходящим через две вершины шестиугольника?
   Решение: Рассмотрим выпуклый шестиугольник. При проведении разреза через две вершины образуется два многоугольника. Количество сторон отрезанной фигуры равно количеству пересечённых сторон исходного шестиугольника плюс 1 (сам разрез). Для получения семиугольника необходимо, чтобы разрез пересекал 6 сторон. Но в шестиугольнике между любыми двумя вершинами максимум 5 сторон. Следовательно, такой ситуации быть не может.
   Ответ: Нет.
2. (P.2) Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: либо выйти сразу и идти пешком, либо вызвать машину и, подождав её определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом оказывается, что:
   
   Решение: Пусть $v$ — скорость пешехода (км/мин), $V$ — скорость машины, $t_0$ — время ожидания машины. Для пункта на 2 км:
   Время пешком: $\frac{2}{v}$.
   Время на машине: $t_0 + \frac{2}{V} = 24$ мин (по условию равенства).
   Для пункта на 4 км:
   Время пешком: $\frac{4}{v} = 48$ мин $\Rightarrow v = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$ км/мин.
   Время на машине: $t_0 + \frac{4}{V} = 24$ мин (также равенство).
   Решаем систему: $$\begin{cases} t_0 + \frac{2}{V} = 24 \\ t_0 + \frac{4}{V} = 24 \end{cases}$$ Вычитая уравнения: $\frac{2}{V} = 0$ — противоречие. Следовательно, машина для 4 км не используется, время движения пешком 48 мин. Для 6 км: \\ Время пешком: $\frac{6}{1/12} = 72$ мин. \\ Время на машине: $t_0 + \frac{6}{V}$. Из первого уравнения $t_0 = 24 - \frac{2}{V}$. Подставляем: \\ $24 - \frac{2}{V} + \frac{6}{V} = 24 + \frac{4}{V}$. Это должно быть меньше 72. Минимальное время — 24 мин при $V \to \infty$, но реально $V$ ограничено. Из условия для 2 км: $V > \frac{2}{24 - t_0}$. Точное решение требует дополнительных данных. \\ Ответ: 24 минуты (предположительно).
3. (Q.1) Найдите все такие \(X\), что \(X \# 12345 = 31452\). \\ Решение: По определению операции \(X \# Y\): \\ Пусть \(Y = 12345\), тогда для каждого символа \(x_i\) в \(X\) под ним стоит \(y_i\). В результате \(X \# Y\) получается замена каждого символа \(x_i\) на \(y_i\), а затем запись этих \(y_i\) в порядке \(X\). \\ Из примера: \(X = \%\$\&@!\), \(Y = @\%\&\$!\), тогда \(X \# Y = \&@!\$\%\). Видно, что символы \(Y\) переставляются согласно позициям \(X\).
   Для \(X \# 12345 = 31452\):
   Пусть \(X = abcde\). Тогда:
   - Под \(a\) в \(Y=12345\) стоит 1 → в результате \(a\) заменяется на 3 → значит, в \(Y\) под 3 стоит \(a\).
   - Аналогично: \(b → 1\), \(c → 4\), \(d → 5\), \(e → 2\).
   Строим соответствие: \(X = 3??52\). Уточняя: \(X\) должен быть перестановкой \(31452\).
   Ответ: \(X = 31542\).
4. (Q.2) Докажите, что для любых строк \(X\) и \(Y\), верно: \(X \# (Y \# X) = Y\).
   Доказательство: Операция \(Y \# X\) заменяет каждый символ \(y_i\) на соответствующий \(x_i\) из \(X\). Затем \(X \# (Y \# X)\) заменяет каждый символ \(x_i\) на символ из \(Y \# X\), который по построению равен \(y_i\). Таким образом, исходная строка \(Y\) восстанавливается.
5. (Q.3) Докажите: \((Q \# R) \# (P \# Q) = (P \# R) \# (R \# Q)\).
   Доказательство: Пусть \(Q \# R = 2R - Q\), \(P \# Q = 2Q - P\). Тогда:
   Левый член: \((2R - Q) \# (2Q - P) = 2(2Q - P) - (2R - Q) = 4Q - 2P - 2R + Q = 5Q - 2P - 2R\).
   Правый член: \((P \# R) = 2R - P\), \((R \# Q) = 2Q - R\). Тогда:
   \((2R - P) \# (2Q - R) = 2(2Q - R) - (2R - P) = 4Q - 2R - 2R + P = 4Q - 4R + P\).
   Равенство не выполняется. Возможно, ошибка в интерпретации операции. Верное решение: использовать свойства отражений. Отражение точки \(A\) относительно \(B\): \(A \# B = 2B - A\). Тогда:
   \((Q \# R) \# (P \# Q) = 2(P \# Q) - (Q \# R) = 2(2Q - P) - (2R - Q) = 4Q - 2P - 2R + Q = 5Q - 2P - 2R\).
   \((P \# R) \# (R \# Q) = 2(R \# Q) - (P \# R) = 2(2Q - R) - (2R - P) = 4Q - 2R - 2R + P = 4Q - 4R + P\).
   Для равенства \(5Q - 2P - 2R = 4Q - 4R + P\) необходимо \(Q = 3P + 2R\), что не всегда верно. Следовательно, утверждение неверно. Возможна ошибка в условии.
6. (Q.4) Придумайте две разных операции над числами, каждая из которых обладает свойством: \[ P \# Q = Q \# P,\quad (P \# Q) \# Q = P. \]
   Решение:
   1. Операция вычитания: \(P \# Q = Q - P\). Проверка: \((P \# Q) \# Q = (Q - P) \# Q = Q - (Q - P) = P\).
   2. Операция симметрии: \(P \# Q = 2Q - P\). Проверка: \((2Q - P) \# Q = 2Q - (2Q - P) = P\).
   Ответ: Например, \(P \# Q = Q - P\) и \(P \# Q = 2Q - P\).