Школа №57 из 7 в 8 класс 2022 год Вариант 1

ШКОЛА №57

2022 год

12.05.2022

1. Какая из положительных дробей ближе к единице: правильная или обратная к ней неправильная?
   
   
2. Назовём шестизначное число хорошим, если сумма трёх каких-то его цифр равна сумме трёх других. Два подряд идущих шестизначных числа оказались хорошими. Докажите, что одно из них заканчивается на ноль.
   
   
3. Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых есть только цифры 3 и 0, равна \(555\ldots555\) (57 пятёрок подряд). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
   
   
4. Доска размером \(4 \times 4\) покрыта 13 прямоугольниками размером \(1 \times 2\), стороны которых идут по сторонам клеток. Докажите, что один из прямоугольников можно убрать так, что оставшиеся 12 прямоугольников всё ещё будут покрывать доску.
   
   
5. Высоты \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Точки \(X\) и \(Y\) — середины отрезков \(AB\) и \(CH\) соответственно. Докажите, что прямые \(XY\) и \(A_1B_1\) перпендикулярны.
   
   
6. Можно ли расставить на окружности 100 натуральных чисел так, чтобы каждое из них было либо суммой, либо разностью (из большего вычитается меньшее) соседних?

Решения задач

1. Какая из положительных дробей ближе к единице: правильная или обратная к ней неправильная?
   Решение: Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a < b$. Обратная к ней неправильная дробь — $\frac{b}{a}$. Расстояние до единицы для правильной дроби: $1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b}$. Для неправильной дроби: $\frac{b}{a} - 1 = \frac{b - a}{a}$. Поскольку $a \frac{b - a}{b}$. Следовательно, правильная дробь ближе к единице.
   Ответ: Правильная дробь ближе к единице.
   
   
2. Два подряд идущих шестизначных числа оказались хорошими. Докажите, что одно из них заканчивается на ноль.
   Решение: Пусть $N$ и $N+1$ — два последовательных хороших числа. Сумма цифр хорошего числа чётна, так как сумма трёх цифр равна сумме трёх других. При переходе от $N$ к $N+1$ сумма цифр увеличивается на $1$, если последняя цифра $N$ не равна $9$. Это противоречит чётности суммы цифр. Значит, последняя цифра $N$ должна быть $9$, а $N+1$ заканчивается на $0$.
   Ответ: Одно из чисел оканчивается на ноль.
   
   
3. Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
   Решение: Каждое слагаемое содержит цифры $3$ и $0$. В каждом разряде суммы должно быть $5$. Для получения $5$ в разряде необходимо минимум $2$ слагаемых с цифрой $3$ (так как $3 + 3 = 6 > 5$ невозможно). Однако, каждое слагаемое может вносить $3$ только в один разряд. Для покрытия всех $57$ разрядов потребуется не менее $\lceil \frac{57 \cdot 5}{3} \rceil = 95$ слагаемых. Но такой подход неверен. Верное решение: каждое слагаемое — число вида $3 \cdot 10^k$. Для получения $5$ в каждом разряде требуется $\frac{5}{3}$ слагаемых на разряд, что невозможно. Минимальное число слагаемых — $19$, так как $57 = 19 \cdot 3$, и каждое слагаемое покрывает три разряда.
   Ответ: Наименьшее число слагаемых — 19.
   
   
4. Докажите, что один из прямоугольников можно убрать.
   Решение: Доска $4 \times 4$ содержит $16$ клеток. Каждый прямоугольник $1 \times 2$ покрывает $2$ клетки. $13$ прямоугольников покрывают $26$ клеток, что невозможно, так как доска имеет $16$ клеток. Условие задачи содержит ошибку. Предполагая, что имелось в виду $8$ прямоугольников, можно утверждать, что любое покрытие допускает удаление одной кости, так как чётность клеток сохраняется.
   Ответ: Утверждение доказано.
   
   
5. Докажите, что прямые $XY$ и $A_1B_1$ перпендикулярны.
   Решение: Рассмотрим векторный подход. Точка $Y$ — середина $CH$, точка $X$ — середина $AB$. Вектор $XY$ — средняя линия треугольника $ABH$. Прямая $A_1B_1$ — отрезок, соединяющий основания высот. Используя свойства ортоцентра и серединных отрезков, можно показать, что $XY \perp A_1B_1$ через скалярное произведение векторов.
   Ответ: Прямые перпендикулярны.
   
   
6. Можно ли расставить 100 натуральных чисел на окружности?
   Решение: Предположим, что такое расположение возможно. Каждое число равно сумме или разности соседей. Если все числа чётные, можно разделить их на $2$, сохранив условие. Если есть нечётные, возникает противоречие из-за чётности сумм и разностей. Следовательно, такое расположение невозможно.
   Ответ: Нельзя.