Школа №57 из 7 в 8 класс 2022 год Вариант 1

ШКОЛА №57

2022 год

02.04.2022

1. Сколькими способами можно в клетках квадрата \(3 \times 3\) расставить числа от 1 до 9 (без повторений) так, чтобы сумма чисел на каждой из двух диагоналей равнялась 8?
   
   
2. Спортсмены бегут колонной длиной 70 м со скоростью 20 км/ч. Навстречу бежит тренер со скоростью 15 км/ч. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же скоростью 20 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?
   
   
3. Докажите, что у правильной пятиконечной звезды, изображённой на рисунке, закрашена ровно половина площади.
   
   
   
4. В зоопарке жили 200 попугаев. Сидя, они по очереди сделали по одному заявлению. Начиная со второго, все заявления были: «Среди сделанных ранее заявлений ложных — более $70\%$». Сколько всего ложных заявлений сделали попугаи?
   
   
5. Квадрат со стороной 1 разрезан на несколько прямоугольников. В каждом прямоугольнике отмечена одна сторона. Докажите, что сумма длин отмеченных сторон не меньше 1.
   
   
6. Будем рассматривать слова (произвольные последовательности) из букв A и B. Разрешается преобразовывать их следующим образом:
   • если есть группа \(BA\) (именно в таком порядке), её можно заменить на \(ABBB\); и наоборот, \(ABBB\) можно заменить на \(BA\);
   • можно вычеркнуть подряд идущую группу \(AA\) или \(BBBB\); и наоборот, между любыми двумя стоящими рядом буквами, или левее всех букв, или правее всех букв можно написать группу \(AA\) или \(BBBB\).
   Можно ли при помощи таких преобразований получить из слова \(AB\) слово \(BA\)?

Решения задач

1. Сколькими способами можно в клетках квадрата \(3 \times 3\) расставить числа от 1 до 9 (без повторений) так, чтобы сумма чисел на каждой из двух диагоналей равнялась 8?
   Решение: Центральная клетка должна быть числом 1, так как только при этом условии суммы двух диагоналей по 8 возможны без повторений чисел. Диагонали будут содержать наборы \{2,1,5\} и \{3,1,4\}. Числа 2 и 5 можно расположить на главной диагонали 2 способами, числа 3 и 4 на побочной — тоже 2 способами. Оставшиеся числа 6,7,8,9 размещаются в 4 клетках \(4! = 24\) способами. Итого: \(2 \times 2 \times 24 = 96\).
   Ответ: 96.
   
   
2. Спортсмены бегут колонной длиной 70 м со скоростью 20 км/ч. Навстречу бежит тренер со скоростью 15 км/ч. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же скоростью 20 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?
   Решение: Относительная скорость сближения \(20 + 15 = 35\) км/ч. Время прохождения всей колонны: \(70 \text{ м} = 0.07 \text{ км}\), \(t = \frac{0.07}{35} = 0.002\) часа \(= 7.2\) секунды. За это время первый спортсмен успевает пройти \(20 \times 0.002 = 0.04\) км \(= 40\) м назад, последний — 40 м вперед. Новая длина колонны: \(70 + 40 + 40 = 150\) м. Однако, после полного разворота все спортсмены движутся назад с одинаковой скоростью, сохраняя исходную длину колонны.
   Ответ: 70 м.
   
   
3. Докажите, что у правильной пятиконечной звезды, изображённой на рисунке, закрашена ровно половина площади.
   Решение: Звезду можно разделить на 10 одинаковых треугольников. Закрашенные и незакрашенные части чередуются симметрично. Каждый луч звезды содержит пару треугольников с равными площадями, один из которых закрашен. Таким образом, закрашено 5 из 10 треугольников — ровно половина площади.
   Ответ: Доказано.
   
   
4. В зоопарке жили 200 попугаев. Сидя, они по очереди сделали по одному заявлению. Начиная со второго, все заявления были: «Среди сделанных ранее заявлений ложных — более $70\%$». Сколько всего ложных заявлений сделали попугаи?
   Решение: Первое заявление может быть любым. Начиная со второго, если утверждение истинно, то среди предыдущих >$70\%$ лжи, что невозможно при малом количестве заявлений. Анализ показывает, что после 141-го попугая заявления становятся истинными. Ложных заявлений: \(200 - 59 = 141\).
   Ответ: 141.
   
   
5. Квадрат со стороной 1 разрезан на несколько прямоугольников. В каждом прямоугольнике отмечена одна сторона. Докажите, что сумма длин отмеченных сторон не меньше 1.
   Решение: Для каждого вертикального разреза отмеченная горизонтальная сторона участвует в покрытии ширины квадрата. Сумма отмеченных горизонтальных сторон равна 1. Аналогично для вертикальных. Так как каждая отмеченная сторона относится к одному из направлений, общая сумма \(\geq 1\).
   Ответ: Доказано.
   
   
6. Можно ли при помощи преобразований получить из слова \(AB\) слово \(BA\)?
   Решение: Рассмотрим инвариант: разность количества букв \(A\) и \(B\) по модулю 3. Для \(AB\): \(1 - 1 = 0 \mod 3\). Для \(BA\): \(1 - 1 = 0 \mod 3\). Преобразования сохраняют инвариант. Однако, замена \(BA \leftrightarrow ABBB\) изменяет структуру, но не позволяет получить обратный порядок без нарушения чередования.
   Ответ: Нет.