Школа №57 из 7 в 8 класс 2020 год Вариант 1

ШКОЛА №57

2020 год

Вариант 1

1. Вычислите: $4 \frac{1}{6} \cdot\left(1 \frac{1}{2}-\frac{3}{5}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right) \cdot 6$
   
   Вычисляем по действиям:
   1) $1 \frac{1}{2}-\frac{3}{5}=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}=\frac{15-6}{10}=\frac{9}{10}$
   2) $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{9+10}{12}=\frac{19}{12}$
   3) $4 \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{10}=\frac{25}{6} \cdot \frac{9}{10}=\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}=\frac{15}{4}$
   4) $\frac{19}{12} \cdot 6=\frac{19}{2}$
   5) $\frac{15}{4}+\frac{19}{2}=\frac{15}{4}+\frac{38}{4}=\frac{53}{4}=13 \frac{1}{4}=13.25$.
2. Длина отрезка АВ составляет 12 см, а $\frac{2}{3}$ его длины равны $\frac{4}{5}$ длины отрезка CD. Найдите длину отрезка CD.
   Поскольку длина отрезка AB равна $12 \mathrm{~cm}$, то $\frac{2}{3}$ его длины составляют $\frac{2}{3} \cdot 12=8 \mathrm{~cm} .$ Эта длина составляет $\frac{4}{5}$ длины отрезка CD. Значит, длина отрезка CD равна $8: \frac{4}{5}=8 \cdot \frac{5}{4}=10 \mathrm{~cm} .$
3. Решите задачу. В магазин привезли 18 т картофеля. В первый день продали $40 \%$ всего картофеля, во второй день $25 \%$ остатка. Сколько тонн картофеля осталось продать после двух дней торговли?
   Поскольку всего картофеля было 18 т, а в первый день продали $40 \%$ от этого количества, то в тоннах это равно $18: 100 \cdot 40=7.2$ т. Значит, после первого дня в магазине осталось $18-7.2=10.8$ т картофеля. Поскольку во второй день было продано $25 \%$ остатка, то в тоннах это составляет $10.8: 100 \cdot 25=2.7$ т. Значит, после двух дней магазину осталось продать $10.8-2.7=8.1$ т картофеля.
4. Решите уравнение:
   
   $\frac{3 x-5}{2}-\frac{2 x-3}{3}=4-x$
   
   Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части этого уравнения на 6:
   $3(3 x-5)-2(2 x-3)=6(4-x)$
   
   Далее преобразуем получившееся уравнение:
   
   $\begin{gathered} 9 x-15-4 x+6=24-6 x \\ 9 x-4 x+6 x=24+15-6 \\ 11 x=33 \\ x=3 \end{gathered}$
   
   
5. Разложите на множители $4 a^{2}-b^{2}+8 a b+4 b^{2}$
   Используем формулы сокращённого умножения «квадрат суммы» и «разность квадратов»:
   
   $\begin{gathered} 4\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)-b^{2}=4(a+b)^{2}-b^{2}= \\ =(2 a+2 b-b)(2 a+2 b+b)=(2 a+b)(2 a+3 b) \end{gathered}$
   
   
6. Составьте уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках $A(-2 ; 0)$ и $B(0 ; 6)$.
   Уравнение прямой в общем виде выглядит следующим образом: $y=k x+b .$ Подставляем координаты точки В в это уравнение: $6=k \cdot 0+b$, откуда получаем, что $b=6 .$ Теперь подставляем координаты точки А в это уравнение: $0=-2 \cdot k+6$, откуда получаем $k=3 .$ Итак, искомое уравнение прямой имеет вид: $y=3 x+6 .$
7. Сейчас Коле 12 лет. Шесть лет назад он был в 6 раз моложе своего учителя математики. Через сколько лет Коля будет в 2 раза младше своего учителя математики?
   Шесть лет назад Коле было $12-6=6$ лет. Тогда он был в 6 раз моложе своего учителя математики. Значит, тогда учителю математики было $6 \cdot 6=36$ лет. То есть сейчас учителю математики $36+6=42$ года. Пусть через $x$ лет Коля станет в 2 раза младше своего учителя математики. Тогда имеет место равенство: $\begin{gathered} 2(12+x)=42+x \\ 24+2 x=42+x \\ 2 x-x=42-24 \\ x=18 \end{gathered}$
8. Внутри равностороннего треугольника $A B C$ выбрана точка M, а на стороне ВС выбрана точка D. При этом $\angle A B M=20^{\circ}$ и ВМ = BD. Найдите угол CDM.
   Изобразим ситуацию на рисунке:
   
   Так как треугольник $\mathrm{ABC}$ правильный, то $\angle B=60^{\circ}$. Torда $\angle D B M=\angle B-\angle A B M=40^{\circ} .$ Так как треугольник BMD равнобедренный с основанием MD, и сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^{\circ}$, то
   
   $\angle M D B=\angle D M B=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-40^{\circ}\right)=70^{\circ}$
   
   $\angle M D B=\angle D M B=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\right.$ Тогда $\angle M D C=180^{\circ}-\angle M D B=110^{\circ} .$
9. В семье три сына Петя, Вася и Толя. Толя празднует свой день рождения через 40 дней после Васи, а Вася через 40 дней после Пети. В этом году день рождения Пети выпадает на вторник. На какой день недели выпадет день рождения Толи?
   Если Петя празднует свой день рождения во вторник, то Толя празднует свой день рождения через 80 дней, то есть через 11 недель и 3 дня. Значит, день рождения Толи будет через 3 дня после вторника, то есть в пятницу.
10. Среднее арифметическое двух чисел составляет $60 \%$ от большего из них. Во сколько раз среднее арифметическое этих чисел больше меньшего числа? Пусть меньшее число равно $x$, а большее число равно $y$. Поскольку их среднее арифметическое составляет $60 \%$ от большего из них, то $\frac{x+y}{2}=0.6 y .$ Из последнего равенства получаем, что $x=0.2 y .$ Значит, среднее арифметическое этих чисел в $0.6 y: 0.2 y=3$ раза больше меньшего из этих чисел.
11. Существует ли треугольник $\mathrm{ABC}$, в котором медиана, проведённая из вершины $A$, перпендикулярна биссектрисе угла $B$, a медиана, проведённая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла С?
    Такого треугольника не существует. Докажем это. Предположим обратное. Тогда имеет место ситуация, изображенная на рисунке:
    
    Прямоугольные треугольники ABO и BOL равны по катету и острому углу, поэтому $A B=B L=L C=x$. Аналогично, прямоугольные треугольники СВТ и СТМ равны по катету и острому углу, поэтому $B C=C M=M A=2 x$. Но тогда стороны треугольника АВС равны: $A B=x, B C=2 x$ и $A C=4 x$. Получается, что $A C>A B+B C$ , но это невозможно, так как каждая сторона в треугольнике должна быть меньше суммы двух других сторон (неравенство треугольника). Противоречие.
12. Разрежьте прямоугольный участок земли на участки одинаковой площади так, чтобы на каждом участке стоял ровно один домик. Все квадратики имеют одинаковую площадь:
    
    Ниже приведён правильный вариант разделения на участки:
    
    
13. Школьник Петя записал по кругу все цифры от 0 до 9 в некотором порядке. Затем он сложил все пары соседних чисел и выписал десять полученных сумм. Оказалось, что среди этих сумм всего три различных. Приведите пример такого расположения чисел.
    Пример правильного расположения чисел на рисунке снизу:
    
    

Решения задач

1. Вычислите: $ 4 \frac{1}{6} \cdot\left(1 \frac{1}{2}-\frac{3}{5}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right) \cdot 6 $
   Решение:
   1) $1 \frac{1}{2}-\frac{3}{5} = \frac{3}{2}-\frac{3}{5} = \frac{15}{10}-\frac{6}{10} = \frac{9}{10}$
   2) $\frac{3}{4}+\frac{5}{6} = \frac{9}{12}+\frac{10}{12} = \frac{19}{12}$
   3) $4 \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{25}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{225}{60} = \frac{15}{4}$
   4) $\frac{19}{12} \cdot 6 = \frac{19}{2} = 9 \frac{1}{2}$
   5) $\frac{15}{4} + \frac{19}{2} = \frac{15}{4} + \frac{38}{4} = \frac{53}{4} = 13 \frac{1}{4}$
   Ответ: $13,25$.
   
   
2. Длина отрезка АВ составляет 12 см, а $\frac{2}{3}$ его длины равны $\frac{4}{5}$ длины отрезка CD. Найдите длину отрезка CD.
   Решение:
   $\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см — часть АВ
   $8 : \frac{4}{5} = 8 \cdot \frac{5}{4} = 10$ см — длина CD
   Ответ: 10 см.
   
   
3. В магазин привезли 18 т картофеля. В первый день продали $40\%$ всего картофеля, во второй день $25\%$ остатка. Сколько тонн картофеля осталось продать?
   Решение:
   1) $18 \cdot 0,4 = 7,2$ т — продано в первый день
   2) $18 - 7,2 = 10,8$ т — остаток
   3) $10,8 \cdot 0,25 = 2,7$ т — продано во второй день
   4) $10,8 - 2,7 = 8,1$ т — остаток
   Ответ: 8,1 т.
   
   
4. Решите уравнение: $ \frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3} = 4 - x $
   Решение:
   Умножим обе части на 6:
   $3(3x-5) - 2(2x-3) = 24 - 6x$
   $9x - 15 - 4x + 6 = 24 - 6x$
   $5x - 9 = 24 - 6x$
   $11x = 33$
   $x = 3$
   Ответ: 3.
   
   
5. Разложите на множители $4a^2 - b^2 + 8ab + 4b^2$.
   Решение:
   $4a^2 + 8ab + 4b^2 - b^2 = 4(a^2 + 2ab + b^2) - b^2 = 4(a+b)^2 - b^2 = (2a+2b-b)(2a+2b+b) = (2a+b)(2a+3b)$
   Ответ: $(2a+b)(2a+3b)$.
   
   
6. Составьте уравнение прямой, пересекающей оси в точках $A(-2;0)$ и $B(0;6)$.
   Решение:
   Уравнение вида $y = kx + b$
   При $x=0$: $6 = 0 + b \Rightarrow b=6$
   При $x=-2$: $0 = -2k + 6 \Rightarrow k=3$
   Ответ: $y = 3x + 6$.
   
   
7. Сейчас Коле 12 лет. Шесть лет назад он был в 6 раз моложе учителя. Через сколько лет Коля будет в 2 раза младше учителя?
   Решение:
   1) Сейчас учителю: $(12-6) \cdot 6 + 6 = 42$ года
   2) Уравнение: $2(12+x) = 42 + x$
   $24 + 2x = 42 + x$
   $x = 18$
   Ответ: через 18 лет.
   
   
8. В равностороннем треугольнике ABC точка M внутри, точка D на BC. $\angle ABM = 20^\circ$, BM = BD. Найдите $\angle CDM$.
   Решение:
   1) $\angle DBM = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$
   2) $\angle BMD = \angle BDM = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$
   3) $\angle CDM = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
   Ответ: $110^\circ$.
   
   
9. День рождения Толи через 80 дней после Пети. Определите день недели.
   Решение:
   80 дней = 11 недель + 3 дня
   Вторник + 3 дня = Пятница
   Ответ: пятница.
   
   
10. Среднее арифметическое двух чисел составляет 60% большего. Во сколько раз среднее больше меньшего?
    Решение:
    Пусть $x$ — меньшее, $y$ — большее
    $\frac{x+y}{2} = 0,6y \Rightarrow x = 0,2y$
    $\frac{0,6y}{0,2y} = 3$
    Ответ: в 3 раза.
    
    
11. Существует ли треугольник с указанными свойствами медиан и биссектрис?
    Решение:
    Предположим существование. Тогда:
    $AB = BL = LC = x$, $BC = CM = MA = 2x$
    Получаем $AC = 4x$, что нарушает неравенство треугольника ($4x > x + 2x$)
    Ответ: не существует.
    
    
12. Разрежьте прямоугольник на участки с домиками:
    Ответ:
    
    
13. Пример расположения цифр:
    Ответ: Цифры расположены циклически с повторяющимися суммами 9, 10, 11: