Школа №57 из 7 в 8 класс 1995 год Вариант 1

ШКОЛА №57

1995 год

15.04.1995

1. Могут ли быть такие числа \(x\) и \(y\) (не обязательно целые), что \[ 5x^2 + 7x = 5y^2 + 7y, \] но \(x \ne y\)?
   
   
2. Докажите, что у равнобедренного треугольника с углом \(20^\circ\) при вершине боковая сторона больше удвоенного основания.
   
   
3. Дано 1994 числа. Известно, что сумма любых 57 из них положительна. Докажите, что сумма всех этих чисел положительна.
   
   
4. Дедушка с внуком пошли вместе кататься на лыжах. Бабушка знает, что по ровному месту оба едут со скоростью 7 км/ч; под гору: дедушка — 8 км/ч, внук — 20 км/ч; в гору: дедушка — 6 км/ч, внук — 4 км/ч. Может ли бабушка определить, что больше — протяжённость спусков или подъёмов на их пути, если первым вернулся:
   1. внук;
   2. дедушка?
   
   
   
5. Обозначим через \(n?\) (читается: «n вопросцам») произведение всех простых чисел, не превосходящих \(n\) (для \(n \geq 2\)). Например, \(3? = 6\). Найдите все значения \(n\), для которых \(n? \leq n\).

Решения задач

1. Могут ли быть такие числа \(x\) и \(y\) (не обязательно целые), что \[ 5x^2 + 7x = 5y^2 + 7y, \] но \(x \ne y\)?
   Решение: Преобразуем уравнение: \[ 5(x^2 - y^2) + 7(x - y) = 0 \implies (x - y)(5(x + y) + 7) = 0 \] Условие \(x \ne y\) возможно, если \(5(x + y) + 7 = 0 \implies x + y = -\frac{7}{5}\). Например, при \(x = 0\), \(y = -\frac{7}{5}\): \[ 5 \cdot 0^2 + 7 \cdot 0 = 0 \quad \text{и} \quad 5 \cdot \left(-\frac{7}{5}\right)^2 + 7 \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = 0 \]
   Ответ: Да, например \(x = 0\), \(y = -\frac{7}{5}\).
   
   
2. Докажите, что у равнобедренного треугольника с углом \(20^\circ\) при вершине боковая сторона больше удвоенного основания.
   Решение: Пусть \(ABC\) — равнобедренный треугольник (\(AB = AC\)), \(\angle BAC = 20^\circ\), \(\angle ABC = \angle ACB = 80^\circ\). По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin 20^\circ} = \frac{AB}{\sin 80^\circ} \implies BC = AB \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin 80^\circ} \] Учитывая \(\sin 80^\circ \approx 0.9848\), \(\sin 20^\circ \approx 0.3420\): \[ BC \approx AB \cdot \frac{0.3420}{0.9848} \approx 0.347 \cdot AB \] Тогда \(2BC \approx 0.694 \cdot AB 2BC\).
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Дано 1994 числа. Известно, что сумма любых 57 из них положительна. Докажите, что сумма всех этих чисел положительна.
   Решение: Предположим, сумма всех чисел \(S \leq 0\). Каждое число входит в \(\binom{1993}{56}\) групп по 57 чисел. Общая сумма всех групп: \[ \binom{1993}{56} \cdot S > 0 \quad \text{(противоречие)} \] Следовательно, \(S > 0\).
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Дедушка с внуком пошли вместе кататься на лыжах. Бабушка знает, что по ровному месту оба едут со скоростью 7 км/ч; под гору: дедушка — 8 км/ч, внук — 20 км/ч; в гору: дедушка — 6 км/ч, внук — 4 км/ч. Может ли бабушка определить, что больше — протяжённость спусков или подъёмов на их пути, если первым вернулся:
   1. внук;
   2. дедушка?
   
   Решение:
   1. Пусть \(S\) — длина спусков, \(L\) — подъёмов. Время внука: \[ \frac{S}{20} + \frac{L}{4} \] Время дедушки: \[ \frac{S}{8} + \frac{L}{6} \] Условие \(\frac{S}{20} + \frac{L}{4} < \frac{S}{8} + \frac{L}{6}\): \[ 6S + 30L < 15S + 20L \implies 10L < 9S \implies \frac{L}{S} < \frac{9}{10} \] Ответ: Спусков больше.
      
      
   2. Аналогично: \[ \frac{S}{8} + \frac{L}{6} < \frac{S}{20} + \frac{L}{4} \implies 15S + 20L < 6S + 30L \implies 9S < 10L \implies \frac{S}{L} < \frac{10}{9} \] Ответ: Подъёмов больше.
   
   
   
5. Обозначим через \(n?\) (читается: «n вопросцам») произведение всех простых чисел, не превосходящих \(n\) (для \(n \geq 2\)). Например, \(3? = 6\). Найдите все значения \(n\), для которых \(n? \leq n\).
   Решение:
   • \(n = 2\): \(2? = 2 \leq 2\)
   • \(n = 3\): \(2 \cdot 3 = 6 > 3\)
   • \(n \geq 4\): Произведение простых чисел \(\geq 2 \cdot 3 = 6 > n\)
   
   Ответ: \(n = 2\).