Школа №57 из 7 в 8 класс 1995 год Вариант 1

ШКОЛА №57

1995 год

12.04.1995

1. Сколько граммов $8\%$ серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей $62\%$ серной кислоты?
   
   
2. Вычислите: \[ 10101 \cdot \left( \frac{5}{111111} + \frac{5}{222222} - \frac{4}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37} \right) \]
   
   
3. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна его стороне. Найдите углы треугольника.
   
   
4. Найдите все целые числа \(x\) и \(y\), такие, что \(x^2 - y^2 = 1994\).
   
   
5. У числа \(2^{1995}\) вычислили сумму цифр; у полученного числа снова вычислили сумму цифр и так далее, пока не получили однозначное число. Какое число в результате получилось?

Решения задач

1. Сколько граммов $8\%$ серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей $62\%$ серной кислоты?
   Решение: Найдем массу чистой серной кислоты в исходной жидкости:
   $200 \cdot 0,62 = 124$ г.
   Для получения $8\%$ раствора эта масса составит $8\%$ от нового объема:
   $124 = 0,08 \cdot m \quad \Rightarrow \quad m = \frac{124}{0,08} = 1550$ г.
   Ответ: 1550 г.
2. Вычислите: \[ 10101 \cdot \left( \frac{5}{111111} + \frac{5}{222222} - \frac{4}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37} \right) \]
   Решение: Упростим выражение в скобках:
   $\frac{5}{111111} = \frac{10}{222222}$, $\frac{4}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37} = \frac{4}{111111}$.
   Тогда: \[ \frac{10}{222222} + \frac{5}{222222} - \frac{8}{222222} = \frac{7}{222222} \]
   Умножим на 10101:
   $10101 \cdot \frac{7}{222222} = \frac{7 \cdot 10101}{222222} = \frac{7 \cdot 10101}{2 \cdot 111111} = \frac{7}{22}$.
   Ответ: $\frac{7}{22}$.
3. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна его стороне. Найдите углы треугольника.
   Решение: Пусть $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = AC$), $AD$ — биссектриса $\angle BAC$, причем $AD = AB$. Обозначим $\angle BAC = 2\alpha$. Тогда $\angle BAD = \alpha$. В $\triangle ABD$ ($AB = AD$):
   $\angle ABD = 180^\circ - 3\alpha$, $\angle ADB = 2\alpha$.
   По теореме синусов:
   $\frac{AB}{\sin(2\alpha)} = \frac{AD}{\sin(180^\circ - 3\alpha)} \quad \Rightarrow \quad \sin(3\alpha) = \sin(2\alpha)$.
   Решение: $3\alpha = 180^\circ - 2\alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha = 36^\circ$.
   Углы треугольника: $\angle BAC = 72^\circ$, $\angle ABC = \angle ACB = 54^\circ$.
   Ответ: $72^\circ$, $54^\circ$, $54^\circ$.
4. Найдите все целые числа \(x\) и \(y\), такие, что \(x^2 - y^2 = 1994\).
   Решение: Разложим на множители:
   $(x - y)(x + y) = 1994 = 2 \cdot 997$ (997 — простое).
   Рассмотрим возможные пары делителей:
   $\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 997 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{999}{2}$ (не целое).
   Остальные пары дают нецелые решения. Целых решений нет.
   Ответ: Нет целых решений.
5. У числа \(2^{1995}\) вычислили сумму цифр; у полученного числа снова вычислили сумму цифр и так далее, пока не получили однозначное число. Какое число в результате получилось?
   Решение: Сумма цифр числа $\equiv$ числу по модулю 9. Найдем $2^{1995} \mod 9$:
   $2^3 = 8 \equiv -1 \mod 9 \quad \Rightarrow \quad 2^{1995} = (2^3)^{665} \equiv (-1)^{665} \equiv -1 \equiv 8 \mod 9$.
   Ответ: 8.