Школа №57 из 7 в 8 класс 1995 год Вариант 1

ШКОЛА №57

1995 год

08.04.1995

1. По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?
   
   
2. Расстояние между Лугой и Волховом — 194 км, между Волховом и Лодейным Полем — 116 км, между Лодейным Полем и Псковом — 451 км, а между Псковом и Лугой — 141 км. Каково расстояние между Псковом и Волховом?
   
   
3. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, в записи которых встречаются только нечётные цифры.
   
   
4. Имеется 5 одинаковых по виду монет, из которых по крайней мере 3 настоящие. Судья берёт две монеты и говорит, одинаковы они по весу или нет (но не говорит, какая легче). Как за 3 обращения к судье найти хоть бы одну настоящую монету?
   
   
5. Прямоугольник \(19 \times 65\) разбит прямыми, параллельными его сторонам, на квадраты со стороной 1. На сколько частей разобьётся этот прямоугольник, если в нём провести ещё и одну диагональ?

Решения задач

1. По хорошей лыжне двое лыжников шли со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними было 500 м. Начался трудный участок, на котором скорость упала до 9 км/ч. Как изменилось расстояние между лыжниками, когда они оба вышли на этот участок?
   Решение: При переходе на трудный участок оба лыжника одновременно снизили скорость до 9 км/ч. Поскольку их скорости изменились одинаково, относительная скорость между ними осталась прежней. Таким образом, расстояние между ними не изменилось и осталось равным 500 метров.
   Ответ: расстояние не изменилось, осталось 500 метров.
2. Расстояние между Лугой и Волховом — 194 км, между Волховом и Лодейным Полем — 116 км, между Лодейным Полем и Псковом — 451 км, а между Псковом и Лугой — 141 км. Каково расстояние между Псковом и Волховом?
   Решение: Рассмотрим маршрут Псков — Луга — Волхов. Расстояние Псков-Луга = 141 км, Луга-Волхов = 194 км. Если города расположены на одной прямой с Лугой между Псковом и Волховом, то расстояние Псков-Волхов = 141 + 194 = 335 км. Однако из условия также следует, что расстояние Лодейное Поле-Псков = 451 км, а Волхов-Лодейное Поле = 116 км. Проверим согласованность: 116 + 451 = 567 км (Волхов-Лодейное Поле-Псков), что не противоречит другим данным. Таким образом, расстояние Псков-Волхов составляет 53 км, так как 194 - 141 = 53 (при расположении Волхова и Пскова по разные стороны от Луги).
   Ответ: 53 км.
3. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, в записи которых встречаются только нечётные цифры.
   Решение: Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Каждая позиция (сотни, десятки, единицы) имеет 5 вариантов. Всего чисел: $5 \times 5 \times 5 = 125$. Сумма для каждого разряда:
   Сотни: $(1+3+5+7+9) \times 25 \times 100 = 25 \times 25 \times 100 = 62500$,
   Десятки: $25 \times 25 \times 10 = 6250$,
   Единицы: $25 \times 25 \times 1 = 625$.
   Общая сумма: $62500 + 6250 + 625 = 69375$.
   Ответ: 69375.
4. Имеется 5 одинаковых по виду монет, из которых по крайней мере 3 настоящие. Судья берёт две монеты и говорит, одинаковы они по весу или нет (но не говорит, какая легче). Как за 3 обращения к судье найти хоть бы одну настоящую монету?
   Решение:
   1. Взвесить монеты 1 и 2.
      • Если равны: взвесить 3 и 4. Если равны — любая из 3,4,5 настоящая. Если разные — монета 5 настоящая.
      • Если разные: взвесить 1 и 3. Если равны — монета 3 настоящая. Если разные: взвесить 3 и 4. Если равны — монеты 3 и 4 настоящие. Если разные — монета 5 настоящая.
   Ответ: стратегия позволяет гарантированно найти настоящую монету за 3 взвешивания.
5. Прямоугольник \(19 \times 65\) разбит прямыми, параллельными его сторонам, на квадраты со стороной 1. На сколько частей разобьётся этот прямоугольник, если в нём провести ещё и одну диагональ?
   Решение: Количество частей, на которые диагональ делит прямоугольник, вычисляется по формуле:
   $m + n - \text{НОД}(m, n)$, где \(m = 19\), \(n = 65\).
   НОД(19, 65) = 1, так как 19 — простое число.
   Количество частей: \(19 + 65 - 1 = 83\).
   Ответ: 83 части.