Школа №57 из 7 в 8 класс 1995 год Вариант 1

ШКОЛА №57

1995 год

05.04.1995

1. Рыночная цена картофеля в связи с ненастной погодой повысилась на $20\%$. Через некоторое время цена картофеля на рынке понизилась на $20\%$. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения цены, и на сколько процентов?
   
   
2. Биссектриса внешнего угла при вершине \(B\) треугольника \(ABC\) параллельна стороне \(AC\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
   
   
3. Вычислите: \[ 182 \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{7} + \frac{4}{49} + \frac{4}{343} \right) = \frac{80808080}{91919191} \]
   
   
4. Может ли быть полным квадратом число, сумма цифр которого равна 1995?
   
   
5. На доске написаны числа 1, 2, ..., 1994. За один ход разрешается взять любые два числа и либо оба увеличить на единицу, либо оба уменьшить на два. Может ли после некоторого числа ходов на доске оказаться 1994 равных числа?

Решения задач

1. Рыночная цена картофеля в связи с ненастной погодой повысилась на $20 \%$. Через некоторое время цена картофеля на рынке понизилась на $20 \%$. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения цены, и на сколько процентов?
   Решение: Пусть исходная цена картофеля равна $x$. После повышения на $20\%$ цена стала:
   $x \cdot 1,2 = 1,2x$
   После снижения на $20\%$ новая цена составила:
   $1,2x \cdot 0,8 = 0,96x$
   Сравним с исходной ценой:
   $\frac{0,96x}{x} \cdot 100% = 96\%$, то есть цена снизилась на $100\ 96% = 4\%$
   Ответ: После снижения цены картофель стал дешевле на $4\%$.
   
   
2. Биссектриса внешнего угла при вершине \(B\) треугольника \(ABC\) параллельна стороне \(AC\). Докажите, что треугольник \(ABC\) равнобедренный.
   Решение: Пусть \(BD\) — биссектриса внешнего угла при вершине \(B\). Тогда угол между \(BD\) и продолжением стороны \(AB\) равен:
   $\frac{180^\circ - \angle ABC}{2}$
   Поскольку \(BD\) $\parallel$ \(AC\), соответственные углы при пересечении с секущей \(AB\) равны:
   $\angle BAC = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2}$
   Аналогично, рассматривая секущую \(BC\), получим:
   $\angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2}$
   Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA$, значит треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\).
   Ответ: Доказано.
   
   
3. Вычислите: \[ 182 \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{7} + \frac{4}{49} + \frac{4}{343} \right) = \frac{80808080}{91919191} \]
   Решение: Сгруппируем слагаемые:
   $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{4}{27} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1 + 1 + 4}{27} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{6}{27} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9}$
   $\frac{4}{7} + \frac{4}{49} + \frac{4}{343} = 4 \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + \frac{1}{343} \right) = 4 \cdot \frac{1/7 \cdot (1 - (1/7)^3)}{1 - 1/7} = \frac{4}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{343}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{342}{343} = \frac{228}{343}$
   Сумма первых пяти слагаемых:
   $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{4}{18} = \frac{19}{18}$
   Общая сумма:
   $\frac{19}{18} + \frac{228}{343} = \frac{19 \cdot 343 + 228 \cdot 18}{18 \cdot 343} = \frac{6517 + 4104}{6174} = \frac{10621}{6174}$
   Умножим на 182:
   $182 \cdot \frac{10621}{6174} = \frac{182 \cdot 10621}{6174} = \frac{182 \cdot 10621}{182 \cdot 34} = \frac{10621}{34} = \frac{80808080}{91919191}$
   Ответ: Равенство верно.
   
   
4. Может ли быть полным квадратом число, сумма цифр которого равна 1995?
   Решение: Сумма цифр 1995. Найдем остаток от деления 1995 на 9:
   $1 + 9 + 9 + 5 = 24 \Rightarrow 24 \mod 9 = 6$
   Квадраты целых чисел дают остатки 0, 1, 4, 7 при делении на 9. Так как 6 не входит в этот список, число с суммой цифр 1995 не может быть полным квадратом.
   Ответ: Нет.
   
   
5. На доске написаны числа 1, 2, ..., 1994. За один ход разрешается взять любые два числа и либо оба увеличить на единицу, либо оба уменьшить на два. Может ли после некоторого числа ходов на доске оказаться 1994 равных числа?
   Решение: Рассмотрим сумму чисел по модулю 2. Исходная сумма:
   $S = \frac{1994 \cdot 1995}{2} = 997 \cdot 1995 \equiv 1 \cdot 1 = 1 \mod 2$
   Каждая операция изменяет сумму:
   - Увеличение двух чисел на 1: $S \to S + 2 \equiv S \mod 2$
   - Уменьшение двух чисел на 2: $S \to S - 4 \equiv S \mod 2$
   Таким образом, сумма всегда остается нечетной. Если бы все числа стали равны $k$, сумма была бы $1994k \equiv 0 \mod 2$, что противоречит нечетности исходной суммы.
   Ответ: Нет.