Школа №57 из 7 в 8 класс 1995 год вариант 1-1

ШКОЛА №57

1995 год

12.04.1995

1. Найдите все такие числа \(x\) и \(y\) (не обязательно целые), что \[ (x - 2y)^2 + (1 - x + y)^2 = 0. \]
   
   
2. От полного стакана чёрного кофе отпили половину и долили столько же молока. Затем отпили треть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока. Затем отпили шестую часть и долили столько же молока. Наконец выпили весь стакан. Чего в итоге было выпито больше: кофе или молока?
   
   
3. Можно ли в клетках квадратной таблицы \(57 \times 57\) расставить числа 1, –1, 0 так, чтобы все суммы — в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух диагоналей — были различны?
   
   
4. У князя Гвидона было трое сыновей. Среди его потомков 93 имели каждый по двое сыновей и ни одной дочери, а все прочие умерли бездетными. Сколько всего потомков было у князя Гвидона?
   
   
5. Докажите, что у равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным \(20^\circ\), боковая сторона меньше утроенного основания.

Решения задач

1. Найдите все такие числа \(x\) и \(y\), что \[ (x - 2y)^2 + (1 - x + y)^2 = 0. \] Решение: Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: \[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ 1 - x + y = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения: \(x = 2y\). Подставим во второе: \[ 1 - 2y + y = 0 \implies 1 - y = 0 \implies y = 1 \] Тогда \(x = 2 \cdot 1 = 2\).
   Ответ: \(x = 2\), \(y = 1\).
   
   
2. От полного стакана чёрного кофе отпили половину и долили столько же молока. Затем отпили треть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока. Затем отпили шестую часть и долили столько же молока. Наконец выпили весь стакан. Чего в итоге было выпито больше: кофе или молока?
   Решение:
   • Изначально: 1 стакан кофе.
   • После первого шага: выпито \(\frac{1}{2}\) кофе, осталось \(\frac{1}{2}\) кофе + \(\frac{1}{2}\) молока.
   • После второго шага: выпито \(\frac{1}{3}\) смеси (\(\frac{1}{6}\) кофе + \(\frac{1}{6}\) молока), осталось \(\frac{2}{3}\) смеси (\(\frac{1}{3}\) кофе + \(\frac{1}{3}\) молока) + \(\frac{1}{3}\) молока.
   • После третьего шага: выпито \(\frac{1}{6}\) смеси (\(\frac{1}{18}\) кофе + \(\frac{1}{18}\) молока), осталось \(\frac{5}{6}\) смеси (\(\frac{5}{18}\) кофе + \(\frac{5}{18}\) молока) + \(\frac{1}{6}\) молока.
   • В конце выпито всё: \(\frac{5}{18}\) кофе + \(\frac{5}{18} + \frac{1}{6} = \frac{8}{18}\) молока.
   Всего выпито кофе: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{5}{18} = 1\) стакан. Молока: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1\) стакан.
   Ответ: Поровну.
   
   
3. Можно ли в клетках квадратной таблицы \(57 \times 57\) расставить числа 1, –1, 0 так, чтобы все суммы — в каждом столбце, в каждой строке и на каждой из двух диагоналей — были различны?
   Решение: Количество строк, столбцов и диагоналей: \(57 + 57 + 2 = 116\). Максимальная возможная сумма для 57 чисел: \(57 \cdot 1 = 57\), минимальная: \(-57\). Всего возможных различных сумм: \(57 - (-57) + 1 = 115\). По принципу Дирихле, 116 сумм не могут быть различны.
   Ответ: Нет.
   
   
4. У князя Гвидона было трое сыновей. Среди его потомков 93 имели каждый по двое сыновей и ни одной дочери, а все прочие умерли бездетными. Сколько всего потомков было у князя Гвидона?
   Решение: Каждый из 93 потомков добавил 2 новых потомка. Начальные 3 сына — первое поколение. Общее число потомков: \[ 3 + 93 \cdot 2 = 3 + 186 = 189 \] Ответ: 189.
   
   
5. Докажите, что у равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным \(20^\circ\), боковая сторона меньше утроенного основания.
   Решение: Пусть основание \(a\), боковые стороны \(b\). По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin 20^\circ} = \frac{b}{\sin 80^\circ} \implies b = a \cdot \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ} \] Вычислим отношение: \[ \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ} \approx \frac{0,9848}{0,3420} \approx 2,879 < 3 \] Следовательно, \(b < 3a\).
   Ответ: Доказано.