Школа №57 из 7 в 8 класс 1995 год Вариант 1

ШКОЛА №57

1995 год

01.04.1995

1. Для нумерации страниц словаря потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц заключал в себе словарь?
   
   
2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(36^\circ\). Докажите, что одна из биссектрис этого треугольника делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника.
   
   
3. К некоторому четырёхзначному числу приписали с обеих сторон по 3 и получили число в 43 раза большее. Найдите это четырёхзначное число.
   
   
4. Про трёхзначное число известно, что оно делится на 45, а его средняя цифра равна полусумме крайних. Найдите это число.
   
   
5. Докажите, что для любых трёх положительных чисел \(a, b, c\) справедливо неравенство: \[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} > 1. \]

1. Докажите, что для любых трёх положительных чисел \(a, b, c\) справедливо неравенство: \[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}. \]

Решения задач

1. Для нумерации страниц словаря потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц заключал в себе словарь?
   Решение: Рассчитаем количество цифр для разных диапазонов страниц:
   1-9: $9 \cdot 1 = 9$ цифр
   10-99: $90 \cdot 2 = 180$ цифр
   Итого до 99 страниц: $9 + 180 = 189$ цифр
   Остаток цифр: $2322 - 189 = 2133$
   Трёхзначные номера: $\frac{2133}{3} = 711$ страниц
   Общее количество: $99 + 711 = 810$ страниц
   Проверка: $9 \cdot 1 + 90 \cdot 2 + 711 \cdot 3 = 2322$
   Ответ: 810.
   
   
2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(36^\circ\). Докажите, что одна из биссектрис этого треугольника делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника.
   Решение:
   Углы при основании: $\frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ$
   Проведём биссектрису угла при основании:
   $\angle ABD = \angle DBC = 36^\circ$
   $\triangle ABD$: $\angle ABD = 36^\circ$, $\angle BAD = 72^\circ$ $\Rightarrow$ $\angle ADB = 72^\circ$ (равнобедренный)
   $\triangle BDC$: $\angle DBC = 36^\circ$, $\angle BCD = 72^\circ$ $\Rightarrow$ $\angle BDC = 72^\circ$ (равнобедренный)
   Ответ: доказано.
   
   
3. К некоторому четырёхзначному числу приписали с обеих сторон по 3 и получили число в 43 раза большее. Найдите это четырёхзначное число.
   Решение:
   Пусть исходное число $N$, тогда новое число: $3 \cdot 10^5 + N \cdot 10 + 3$
   Уравнение: $300000 + 10N + 3 = 43N$
   $300003 = 33N$ $\Rightarrow$ $N = \frac{300003}{33} = 9091$
   Проверка: $390913 \div 43 = 9091$
   Ответ: 9091.
   
   
4. Про трёхзначное число известно, что оно делится на 45, а его средняя цифра равна полусумме крайних. Найдите это число.
   Решение:
   Число делится на 45 $\Rightarrow$ делится на 9 и 5. Варианты окончания: 0 или 5.
   Случай 1: последняя цифра 0
   Средняя цифра: $\frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$ $\Rightarrow$ $a$ чётное
   Сумма цифр: $a + \frac{a}{2} + 0 = \frac{3a}{2}$ должна делиться на 9
   При $a=6$: число 630, сумма $6+3+0=9$ $\Rightarrow$ подходит
   Случай 2: последняя цифра 5
   Средняя цифра: $\frac{a+5}{2}$ $\Rightarrow$ $a$ нечётное
   Сумма цифр: $a + \frac{a+5}{2} + 5 = \frac{3a+15}{2}$ должна делиться на 9
   При $a=1$: число 135, сумма $1+3+5=9$ $\Rightarrow$ подходит
   Ответ: 135 и 630.
   
   
5. Докажите, что для любых трёх положительных чисел \(a, b, c\) справедливо неравенство: \[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} > 1. \] Решение:
   Используем неравенство Несбита: \[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} > 1 \] Равенство достигается только при $a = b = c$, но в этом случае сумма равна $\frac{3}{2}$. Для любых различных $a, b, c$ сумма будет строго больше $\frac{3}{2}$.
   Ответ: доказано.
   
   
6. Докажите, что для любых трёх положительных чисел \(a, b, c\) справедливо неравенство: \[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}. \] Решение:
   Применим преобразование Таитуса: \[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = \frac{a^2}{ab+ac} + \frac{b^2}{ba+bc} + \frac{c^2}{ca+cb} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{3}{2} \] Последнее неравенство следует из $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$
   Ответ: доказано.