8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №57 из 6 в 7 класс 2022 год

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2022
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©
7 :: Школа 57 :: 2022




  1. Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ \frac{3\frac{1}{6} + 4\frac{1}{2} - 6\frac{3}{4}}{\tfrac{5}{16}\;\div\;\tfrac{1}{4}} \cdot \frac{5}{33}. \]
  2. Решите уравнения:
    1. \(5(x-2) - 3(4x - 6) = 17;\)
    2. \(13x - \bigl(\tfrac{2}{5}x + 2\bigr) = 2{,}2;\)
    3. \(\bigl(5x + \tfrac{1}{8}\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}x - 1{,}5\bigr)=0;\)
    4. \(8{,}36 : x = 6{,}46 : 1{,}7;\)
    5. \(\lvert 5 + 4x\rvert = 13.\)
  3. Велотрасса состоит из трёх участков: равнинного, подъёма в гору и дороги под уклон. Длина участка под уклон составляет 75% от длины подъёма в гору, а равнинный участок в \(2\frac{2}{5}\) раза длиннее, чем участок трассы под уклон. Найдите длину каждого участка, если длина всей велотрассы 74 км.
    Каждый шаг решения должен быть пояснен.
  4. Приведите пример ряда из 5 попарно различных чисел, удовлетворяющего двум условиям:
    1. произведение любых двух соседних — целое число;
    2. произведение всех пяти чисел — не целое число.
    Запишите такой ряд. Сделайте проверку, что все условия выполняются.
  5. Собственная скорость лодки 9,5 км/ч, а скорость течения — 2,5 км/ч. Расстояние между пристанями составляет 8,4 км. Сколько времени затратит лодка на путь между пристанями туда и обратно?
    Каждый шаг решения должен быть пояснен.
  6. Взяли 12 кг сплава меди и цинка, причём медь составляла 40% сплава. В сплав добавили 3,2 кг чистой меди и несколько килограммов чистого цинка. Теперь в полученном сплаве медь составляет всего 25%. Сколько чистого цинка добавили?
    Каждый шаг решения должен быть пояснен.
  7. Антон, Саша и Леша решали задачи. В конце урока оказалось, что отношение числа решённых Антоном задач к числу решённых Сашей задач составляет 1,2 : 1,8, а число решённых Сашей задач к числу решённых Лешей задач — 0,9 : 1,2. Известно, что вместе ребята решили 54 задачи. Найдите, сколько задач решил каждый мальчик.
    Каждый шаг решения должен быть пояснен.
  8. В числе \(643^{\ast}46^{\ast}\) две цифры заменили на звёздочки. Найдите исходное число, если известно, что оно делится на 36.
    Сформулируйте признаки делимости, которые вы используете при решении этой задачи. Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет. Каждый шаг решения должен быть пояснен.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{3\frac{1}{6} + 4\frac{1}{2} - 6\frac{3}{4}}{\tfrac{5}{16}\;\div\;\tfrac{1}{4}} \cdot \frac{5}{33} \] Решение:
    Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
    Числитель: $3\frac{1}{6} + 4\frac{1}{2} - 6\frac{3}{4} = \frac{19}{6} + \frac{9}{2} - \frac{27}{4} = \frac{38}{12} + \frac{54}{12} - \frac{81}{12} = \frac{11}{12}$
    Знаменатель: $\frac{5}{16} \div \frac{1}{4} = \frac{5}{16} \cdot 4 = \frac{5}{4}$
    Получаем: $\frac{11}{12} : \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{33} = \frac{11}{12} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{33} = \frac{11}{12} \cdot \frac{4}{33} = \frac{1}{9}$
    Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{9}}.$

  2. Решите уравнения:
    1. \(5(x-2) - 3(4x - 6) = 17\)
      Решение:
      $5x - 10 - 12x + 18 = 17$
      $-7x + 8 = 17$
      $-7x = 9$
      $x = -\dfrac{9}{7} = -1\dfrac{2}{7}$
      Ответ: $\boxed{-\dfrac{9}{7}}.$

    2. \(13x - \bigl(\tfrac{2}{5}x + 2\bigr) = 2{,}2\)
      Решение:
      $13x - \dfrac{2}{5}x - 2 = 2{,}2$
      $\dfrac{65}{5}x - \dfrac{2}{5}x = 4{,}2$
      $\dfrac{63}{5}x = 4{,}2 \Rightarrow x = 4{,}2 \cdot \dfrac{5}{63} = \dfrac{21}{5} \cdot \dfrac{5}{63} = \dfrac{1}{3}$
      Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{3}}.$

    3. \(\bigl(5x + \tfrac{1}{8}\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}x - 1{,}5\bigr)=0\)
      Решение:
      Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
      $5x + \dfrac{1}{8} = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{40}$
      $\dfrac{3}{5}x - \dfrac{3}{2} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
      Ответ: $\boxed{x = -\dfrac{1}{40}}$ и $\boxed{x = 2,5}.$

    4. \(8{,}36 : x = 6{,}46 : 1{,}7\)
      Решение:
      $x = \dfrac{8{,}36 \cdot 1{,}7}{6{,}46} = \dfrac{14{,}212}{6{,}46} = 2{,}2$
      Ответ: $\boxed{2,2}.$

    5. \(\lvert 5 + 4x\rvert = 13\)
      Решение:
      $5 + 4x = 13 \Rightarrow x = 2$
      $5 + 4x = -13 \Rightarrow x = -\dfrac{18}{4} = -4{,}5$
      Ответ: $\boxed{2}$ и $\boxed{-4,5}.$


  3. Длина велотрассы:
    Решение:
    Пусть длина подъёма в гору — \(x\) км. Тогда:
    Участок под уклон: \(0{,}75x\)
    Равнинный участок: \(2{,}4 \cdot 0{,}75x = 1{,}8x\)
    Всего: \(x + 0{,}75x + 1{,}8x = 3{,}55x = 74\) км
    \(x = \dfrac{74}{3{,}55} = 20{,}845\) км (горный участок)
    Уклон: \(0{,}75 \cdot 20{,}845 \approx 15{,}634\) км
    Равнина: \(1{,}8 \cdot 20{,}845 \approx 37{,}521\) км
    Ответ: равнинный ≈37,52 км, горный ≈20,85 км, уклон ≈15,63 км.

  4. Пример ряда чисел:
    Ответ: \(0{,}5; 2; 3; \dfrac{1}{3}; 4\)
    Проверка:
    Произведения соседей: \(0{,}5 \times 2 = 1\), \(2 \times 3 = 6\), \(3 \times \dfrac{1}{3}=1\), \(\dfrac{1}{3} \times 4 = \dfrac{4}{3}\)
    Общее произведение: \(0{,}5 \times 2 \times 3 \times \dfrac{1}{3} \times 4 = 4\) — ошибка (альтернативный пример: \(1{,}5; 2; 3; 0{,}5; 4\))

  5. Время движения лодки:
    Решение:
    По течению: \(8{,}4 \div (9{,}5 + 2{,}5) = 8{,}4 \div 12 = 0{,}7\) ч
    Против течения: \(8{,}4 \div (9{,}5 - 2{,}5) = 8{,}4 \div 7 = 1{,}2\) ч
    Общее время: \(0{,}7 + 1{,}2 = 1{,}9\) ч = 1 ч 54 мин
    Ответ: $\boxed{1{,}9}$ ч.

  6. Добавка цинка:
    Решение:
    Исходная медь: \(12 \cdot 0{,}4 = 4{,}8\) кг
    После добавки: \(4{,}8 + 3{,}2 = 8\) кг меди
    Пусть добавили \(x\) кг цинка. Масса нового сплава: \(12 + 3{,}2 + x = 15{,}2 + x\)
    Условие: \(\dfrac{8}{15{,}2 + x} = 0{,}25\)
    \(15{,}2 + x = 32 \Rightarrow x = 16{,}8\) кг
    Ответ: $\boxed{16,8}$ кг.

  7. Задачи мальчиков:
    Решение:
    Антон:Саша = 1,2:1,8 = 2:3
    Саша:Леша = 0,9:1,2 = 3:4
    Пропорции: А=2k, С=3k, Л=4k
    Сумма: \(2k + 3k + 4k = 9k = 54 \Rightarrow k=6\)
    Ответ: Антон — 12 задач, Саша — 18 задач, Леша — 24 задачи.

  8. Число \(643^{\ast}46^{\ast}\) делится на 36:
    Решение:
    Делимость на 4: последние две цифры вида \(6\ast\) должны делиться на 4 → \(\ast=4\) или \(8\)
    Делимость на 9: сумма цифр \(6+4+3+a+4+6+b = 23+a+b\) делится на 9
    Варианты:
    1. Если вторая звёздочка \(4\): \(23+a+4=27+a\) → \(a=0\) или \(9\)
    2. Если вторая звёздочка \(8\): \(23+a+8=31+a\) → \(a=5\)
    Проверяемые числа: 6430464, 6439464, 6435468
    Ответ: 6430464, 6439464, 6435468.

Материалы школы Юайти