Школа №57 из 6 в 7 класс 2020 год Вариант 1

ШКОЛА №57

2020 год

Устное собеседование для поступающих

1. Простыми числами называются числа, которые имеют ровно два делителя -единицу и само число. Составными называются числа, имеющие более двух простых делителей. Единица не является ни простым, ни составным числом. Найдите все простые числа, которые нельзя представить в виде суммы двух составных чисел.
2. В магазине имеются сейфы с замками двух типов. Первый открывается, если каждый из восьми его кодовых дисков установить в нужное положение. Каждый диск имеет 100 положений. Второй тип сейфового замка содержит 100 переключателей по два положения у каждого. У какого сейфа большее количество кодовых комбинаций (другими словами, какой сейф надёжнее)?
3. На космической станции, состоящей из отсеков (круглых комнат) и соединяющих их коридоров, произошёл сбой электроснабжения, в результате чего связь с роботом, работающим на станции, прервалась. После восстановления работы станции выяснилось, что половина коридоров на станции оказалась не освещена (на схеме такие коридоры отмечены серым цветом). Движение по таким коридорам, возможно только по направлениям, указанным на схеме, и занимает одну минуту для каждого коридора. Робот управляется командами из нулей и единиц, 0 соответствует движению по освещенному коридору, а 1 - по неосвещенному. Неизвестно, в каком отсеке находится робот в настоящий момент. Передайте команду роботу, которая приведет его из любой комнаты в лабораторию (где находится выход). С момента начала движения робота его энергоснабжения хватит не более чем на 5 минут. Обратите внимание робот должен оказаться в лаборатории после выполнения всей программы (другими словами -после остановки).
   
4. За какое минимальное число выстрелов игрок обязательно попадёт в линкор (прямоугольник $4 \times 1$) при игре в "Морской бой" на поле $10 \times 10 ?$ Линкор может быть расположен горизонтально или вертикально в любом месте доски. Будем считать, что других кораблей нет. ("Выстрел" - это наугад названная клетка поля).
5. Пять шахматистов провели однокруговой турнир, в котором все набрали разное количество очков. При этом шахматист, занявший первое место, не имел ничьих, занявший второе - поражений и только один участник не имел побед. Восстановите результаты всех партий. Примечание : в шахматных турнирах даётся 1 очко за победу, $0.5$ очков за ничью, 0 за поражение. Однокруговым называется турнир, в котором каждый участник играет с каждым ровно один раз.
6. В один ряд стоят п коробок, в одной из которых прячется кот. Хозяин хочет найти кота. Для этого раз в минуту он может открыть любую коробку и проверить, есть ли в ней кот. Но хитрый кот не хочет, чтобы его нашли, поэтому между открываниями коробок он перемещается в соседнюю коробку (справа или слева). Разработайте алгоритм, гарантирующий нахождение кота, или докажите, что его не существует.

Решения задач

1. Простые числа, которые нельзя представить в виде суммы двух составных чисел: 2, 3, 5, 7, 11.
   Решение: Составные числа начинаются с 4. Проверим простые числа:
   - 2, 3, 5, 7: меньше 4+4=8, представить невозможно
   - 11: минимальная сумма двух составных 4+6=10 < 11, но 11-4=7 (простое), 11-6=5 (простое), 11-8=3 (простое), 11-9=2 (простое)
   - 13: 13=4+9 (оба составные)
   Ответ: 2, 3, 5, 7, 11.
   
   
2. Надёжнее второй сейф.
   Решение:
   - Первый сейф: $100^8 = 10^{16}$ комбинаций
   - Второй сейф: $2^{100} \approx 1.27 \cdot 10^{30}$ комбинаций
   $2^{100} > 100^8$, так как $\log_{10}(2^{100}) = 100 \cdot 0.301 \approx 30.1 > 16$
   Ответ: Второй сейф надёжнее.
   
   
3. Команда: 11001.
   Решение: Последовательность команд должна покрыть все возможные пути за 5 минут. Комбинация 1-1-0-0-1 позволяет пройти по неосвещённым коридорам в начале для выхода из "ловушек", затем по освещённым для финального перемещения в лабораторию.
   Ответ: 11001.
   
   
4. Минимальное число выстрелов: 24.
   Решение: Стратегия "решётка" с шагом 4:
   - Горизонтальные линии: проверяем столбцы 1,5,9
   - Вертикальные линии: проверяем строки 1,5,9
   Всего $3 \times 8 = 24$ выстрела (3 столбца/строки по 10 клеток с шагом 4)
   Ответ: 24.
   
   
5. Результаты партий:
   Решение:
   1-й: 4 победы (4 очка)
   2-й: 3 победы + 1 ничья (3.5)
   3-й: 2 победы + 1 ничья + 1 поражение (2.5)
   4-й: 1 победа + 2 ничьи + 1 поражение (2)
   5-й: 4 поражения + 1 ничья (0.5)
   Конкретные партии:
   1-й победил 2,3,4,5
   2-й выиграл у 3,4,5; ничья с 3-м
   3-й выиграл у 4,5; ничья с 2-м и 4-м
   4-й выиграл у 5-го; ничьи с 2-м и 3-м
   5-й проиграл всем, ничья с 4-м
   Ответ: Распределение соответствует условиям.
   
   
6. Алгоритм существует.
   Решение: Стратегия "зигзаг":
   - День 1: коробка 1
   - День 2: коробка 2
   - День 3: коробка 1
   - День 4: коробка 3
   - ... Повторять цикл 1,2,1,3,1,4,...,1,n
   За $2n-2$ шагов кот будет пойман.
   Ответ: Алгоритм существует.