Школа №57 из 5 в 6 класс 2020 год Вариант 2-1

ШКОЛА №57

2020 год

1 тур

1. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра строго больше суммы цифр, стоящих правее неё (в частности, четвёртая цифра больше пятой).
   
   
2. Разбейте какой-нибудь прямоугольник на 5 прямоугольников так, чтобы ни из каких двух прямоугольников разбиения нельзя было сложить прямоугольник.
   
   
3. На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Путешественник подошёл к группе из 20 островитян. Первый сказал: «Среди нас ... рыцарей». Путешественник не расслышал число, и спросил у второго: «Что он сказал?». Тот ответил: «Он сказал, что среди нас 10 рыцарей». Тогда третий закричал: «Не верьте второму! Он лжёт!», четвёртый сказал: «Не верьте третьему! Он лжёт!» — и так далее до двадцатого, который обвинил в лжи девятнадцатого. Сколько рыцарей в этой компании?
   
   
4. В 15-литровые вёдра налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается переливать из любого ведра в любое другое вдвое больше воды, чем в нём уже есть. Можно ли собрать всю воду в одном ведре?
   
   
5. На некоторых (но не всех) клетках шахматной доски \(8 \times 8\) стоят шашки. Оказалось, что для каждой свободной клетки количество шашек, стоящих с ней на одной горизонтали и на одной вертикали, в сумме равно 2. Сколько всего шашек может быть на доске?
   
   
6. Дано 2016 карточек, пронумерованных от 1 до 2016. Можно ли разложить их в 64 стопки так, чтобы в любых двух стопках нашлись либо две карточки с последовательными номерами, либо карточки с номерами 1 и 2016?

Решения задач

1. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра строго больше суммы цифр, стоящих правее неё.
   Решение: Рассмотрим условия для каждой цифры:
   • 4-я цифра > 5-й
   • 3-я цифра > (4-я + 5-я)
   • 2-я цифра > (3-я + 4-я + 5-я)
   • 1-я цифра > (2-я + 3-я + 4-я + 5-я)
   Единственное число, удовлетворяющее всем условиям: 84210. Проверка:
   • 8 > 4+2+1+0 = 7
   • 4 > 2+1+0 = 3
   • 2 > 1+0 = 1
   • 1 > 0
   Ответ: 84210.
   
   
2. Разбейте прямоугольник на 5 прямоугольников так, чтобы ни из каких двух прямоугольников разбиения нельзя было сложить прямоугольник.
   Решение: Пять прямоугольников расположены так, что любые два имеют разную ориентацию или размеры, делая их объединение не прямоугольником. Ответ: Один из возможных вариантов показан на рисунке.
   
   
3. В группе из 20 островитян третий, пятый, ..., девятнадцатый — рыцари (9 человек), остальные — лжецы.
   Решение: Цепочка обвинений создаёт чередование рыцарей и лжецов. Если третий рыцарь, то второй лжец, четвёртый лжец и т.д. Первый лжец (сказал неверное число), второй лжец (исказил слова первого). Всего рыцарей: 9.
   Ответ: 9.
   
   
4. Собрать всю воду в одном ведре невозможно.
   Решение: Суммарный объём воды равен 15 литров (1+2+3+4+5). Однако правила переливания не позволяют набрать нужные количества из-за ограничения "переливать вдвое больше, чем есть". Ни одна последовательность операций не приводит к полному сбору.
   Ответ: Нет, нельзя.
   
   
5. На доске стоит 8 шашек.
   Решение: Шашки расположены по одной в каждой строке и столбце (латинский квадрат). Для любой свободной клетки сумма шашек в её строке и столбце равна 1+1=2.
   Ответ: 8.
   
   
6. Да, можно разложить карточки в 64 стопки требуемым образом.
   Решение: Разложим карточки в стопки по принципу: i-я стопка содержит все числа ≡i mod 64. Тогда в любой паре стопок найдутся последовательные числа (например, 1 и 2 в разных стопках) или 1 и 2016 (2016 ≡0 mod 64, 1 ≡1 mod 64).
   Ответ: Да, можно.