8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №57 из 5 в 6 класс 2020 год Вариант 1-2

Школа:
Школа не выбрана
Сложность:
Дата экзамена: 2020
СкачатьПечать
youit.school ©

ШКОЛА №57


2020 год


2 тур



  1. Преподаватель летнего математического лагеря взял с собой на всё лето несколько рубашек, несколько пар брюк, несколько пар обуви и несколько пиджаков. На каждой лекции он был в брюках, рубашке и обуви, а пиджак надевал не всегда. На любых двух лекциях хотя бы один из элементов его одежды отличался. Известно, что если бы он взял на одну рубашку больше, он смог бы прочесть на 18 лекций больше; если бы взял на одну пару брюк больше — на 63 лекции больше; если бы взял на одну пару обуви больше — на 42 лекции больше. Сколько пиджаков, рубашек, брюк и пар обуви он взял с собой?

  2. Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольно достать из шляпы 81 кролика, среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать, чтобы среди них точно было два разноцветных?

  3. Имеется 6 шаров, среди которых 3 радиоактивных, и 3 детектора. В каждый детектор можно вложить 3 шара, и он показывает, есть ли среди них радиоактивный. Известно, что один детектор всегда показывает правильно, второй — всегда ошибается, третий — показывает как повезёт. Возможно ли определить, какие из шаров радиоактивные?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. \setcounter{enumi}{6}
  2. Пусть преподаватель взял $R$ рубашек, $B$ пар брюк, $O$ пар обуви и $P$ пиджаков. Общее количество уникальных комплектов одежды (с учётом возможности не надевать пиджак) равно $R \cdot B \cdot O \cdot (P + 1)$. Из условий задачи получаем уравнения:
    $(R+1) \cdot B \cdot O \cdot (P+1) - R \cdot B \cdot O \cdot (P+1) = B \cdot O \cdot (P+1) = 18$,
    $R \cdot (B+1) \cdot O \cdot (P+1) - R \cdot B \cdot O \cdot (P+1) = R \cdot O \cdot (P+1) = 63$,
    $R \cdot B \cdot (O+1) \cdot (P+1) - R \cdot B \cdot O \cdot (P+1) = R \cdot B \cdot (P+1) = 42$.
    Обозначим $K = P + 1$. Тогда:
    $B \cdot O \cdot K = 18$,
    $R \cdot O \cdot K = 63$,
    $R \cdot B \cdot K = 42$.
    Разделив второе уравнение на первое, получим $\frac{R}{B} = \frac{63}{18} = \frac{7}{2}$, откуда $R = \frac{7}{2}B$. Подставляя в третье уравнение:
    $\frac{7}{2}B \cdot B \cdot K = 42 \Rightarrow B^2 \cdot K = 12$.
    Из первого уравнения $O = \frac{18}{B \cdot K}$. Подставляя $K = \frac{12}{B^2}$:
    $O = \frac{18}{B \cdot \frac{12}{B^2}} = \frac{18B}{12} = \frac{3B}{2}$.
    При $B = 2$ получаем целые значения: $R = 7$, $O = 3$, $K = 3$, $P = 2$.
    Ответ: 7 рубашек, 2 пары брюк, 3 пары обуви, 2 пиджака.
  3. Пусть максимальное количество кроликов одного цвета — $M$. Из условия следует, что $M + 80 < 100 \Rightarrow M \leq 19$. Тогда минимальное количество кроликов, гарантирующее наличие двух цветов, равно $M + 1 = 20$. Однако из условия задачи следует, что при $81$ кролике обязательно есть три цвета, что возможно только если $M \leq 79$. Тогда для гарантии двух цветов достаточно достать $M + 1 = 80$ кроликов. Но проверка показывает, что при $M = 79$ и двух других цветах (например, $79 + 20 + 1$) достать $80$ кроликов можно как $79 + 1$, что даёт два цвета. Следовательно, минимальное количество — $\boxed{61}$ (используя принцип Дирихле для трёх групп).
  4. Да, возможно. Проведём три проверки:
    1. Проверим шары 1,2,3 в детекторе А.
    2. Проверим шары 4,5,6 в детекторе Б.
    3. Проверим шары 1,2,4 в детекторе В.
    Сравнив результаты, можно определить правдивый и ложный детекторы по противоречиям. Например, если детектор А и Б дали одинаковый результат — один из них лжёт. Анализ пересечений проверок позволяет однозначно определить радиоактивные шары.
    Ответ: Да, возможно.
Материалы школы Юайти