Школа №57 из 5 в 6 класс 2020 год

1. В зале сидело 100 человек, каждый из которых был либо рыцарем (всегда говорит правду), либо лжецом (всегда лжет). Затем 60 человек по очереди выходили из зала и каждый говорил «Среди оставшихся лжецов больше, чем рыцарей». Сколько в зале было рыцарей изначально?
2. Можно ли разрезать квадрат со стороной 5 на семь прямоугольников с целыми длинами сторон так, чтобы среди них не было одинаковых?
3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску коня и слона так, чтобы они друг друга не атаковали?
4. Двое играют в игру на доске $10\times10$. За один ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой (прямоугольником $1\times2$) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого есть выигрышная стратегия, у первого или у второго?
5. Нарисуйте такой десятиугольник, у которого все стороны располагаются ровно на пяти прямых.
6. 17 родителей обсуждают в общем чате три темы, причём любые двое обсуждают всегда только одну неизменную тему. Докажите, что найдутся три родителя, обсуждающие одну и ту же тему.

Решения задач

1. В зале сидело 100 человек, каждый из которых был либо рыцарем (всегда говорит правду), либо лжецом (всегда лжет). Затем 60 человек по очереди выходили из зала и каждый говорил «Среди оставшихся лжецов больше, чем рыцарей». Сколько в зале было рыцарей изначально?
   Решение: Пусть изначально в зале было \( R \) рыцарей и \( L = 100 - R \) лжецов. Рассмотрим конечное состояние после выхода 60 человек. Оставшиеся 40 могут быть только рыцарями или лжецами. Все вышедшие 60 утверждали, что среди оставшихся лжецов больше. Если предположить, что все вышедшие — лжецы, то они лгали, следовательно, в оставшихся: \( \text{лжецов} \leq \text{рыцарей} \). Тогда исходно лжецов \( L = 60 + \text{оставшиеся лжецы} \leq 60 + 20 = 80 \), откуда рыцари \( R \geq 20 \). Если при \( R = 20 \), лжецов изначально \( L = 80 \), тогда после выхода 60 лжецов, оставшиеся 20 рыцарей и 20 лжецов удовлетворяют условию. Ответ: 20.
   
   
2. Можно ли разрезать квадрат со стороной 5 на семь прямоугольников с целыми длинами сторон так, чтобы среди них не было одинаковых?
   Решение: Площадь квадрата равна 25. Для семи прямоугольников с уникальными размерами сторон минимальная сумма их площадей составляет \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 \), что больше 25. Следовательно, невозможно.
   Ответ: Нельзя.
   
   
3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску коня и слона так, чтобы они друг друга не атаковали?
   Решение: Общее количество размещений: \( 64 \cdot 63 = 4032 \). Вычтем случаи атаки. Конь атакует 8 клеток, слон — диагональные. Для слона количество позиций на диагоналях коня зависит от положения коня. Среднее количество атакующих пар: 336 (когда конь атакует слона) плюс 784 (когда слон атакует коня), минус пересечения. Итоговая формула: \( 4032 - 336 - 784 + 16 = 2928 \).
   Ответ: 2928.
   
   
4. Двое играют в игру на доске \(10\times10\). За один ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У первого игрока есть выигрышная стратегия: он может симметрично повторять ходы второго относительно центра доски. Поскольку доска чётного размера, первый игрок побеждает.
   Ответ: Выигрывает первый.
   
   
5. Нарисуйте десятиугольник, у которого все стороны располагаются ровно на пяти прямых. Пример: пятиконечная звезда, где каждые две вершины соединены отрезками, лежащими на пяти прямых.
   Ответ: Например, пятиконечная звезда с повторяющимися вершинами на пяти пересекающихся прямых.
   
   
6. Докажите, что среди 17 родителей, обсуждающих три темы, найдутся трое, обсуждающих одну тему. По принципу Дирихле: разделив 17 элементов (пар родителей) на 3 группы, одна группа будет содержать не менее \( \left\lceil \frac{17}{2} \right\rceil = 6 \) пар. Выбирая любые три пары из этой группы, получаем тройку родителей, обсуждающих одну тему.
   Ответ: Такие три родителя найдутся по принципу Дирихле.