Школа №57 из 4 в 5 класс 2015 год Вариант 2-2

ШКОЛА №57

2015 год

Вариант 2

1. Деревянный куб покрасили снаружи жёлтой краской, а потом распилили на одинаковые маленькие кубики, длина ребра которых в 9 раз меньше, чем у исходного куба. У скольких из получившихся кубиков окрашено ровно две грани?
   
   
2. Из числа \(25242322212019181716151413121110987654321\) вычеркните 25 цифр так, чтобы полученное число было наименьшим возможным. Ответ обоснуйте.
   
   
3. Существует ли два последовательных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 5?
   
   
4. С числами разрешается выполнять две операции: умножать на 2 или произвольно переставлять цифры (нельзя ставить 0 на первое место). Можно ли из 1 получить 100?
   
   
5. Тюрьма состоит из 30 камер, расположенных в прямоугольнике \(3 \times 10\). В каждой камере сидит по одному заключённому — рыцарю или лжецу. Каждый заявил: «Во всех соседних со мной камерах сидят лжецы». Какое наибольшее количество лжецов может быть, если рыцари всегда говорят правду, а лжецы — всегда лгут? (Камеры считаются соседними по стороне и по вершине.)

Решения задач

1. Деревянный куб покрасили снаружи жёлтой краской, а потом распилили на одинаковые маленькие кубики, длина ребра которых в 9 раз меньше, чем у исходного куба. У скольких из получившихся кубиков окрашено ровно две грани?
   Решение: Исходный куб имеет ребро длиной 9 маленьких кубиков. Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах исходного куба, исключая угловые. На каждом ребре таких кубиков $9 - 2 = 7$. Всего рёбер у куба 12.
   $12 \cdot 7 = 84$.
   Ответ: 84.
   
   
2. Из числа \(25242322212019181716151413121110987654321\) вычеркните 25 цифр так, чтобы полученное число было наименьшим возможным. Ответ обоснуйте.
   Решение: Исходное число содержит 41 цифру. После вычёркивания 25 цифр останется 16. Для минимального числа первая цифра должна быть наименьшей возможной. Первая цифра «1» встречается в числах 21, 19, 18, ..., 10. Вычёркивая все цифры до первого вхождения «1» в числе 21 (позиция 10: «...222120» → вычёркиваем до «1»), затем выбираем «0» из числа 20. Далее минимизируем оставшиеся цифры: «10» из конца числа («...10987654321»). Получаем число:
   $1000000000123451$.
   Ответ: 1000000000123451.
   
   
3. Существует ли два последовательных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 5?
   Решение: Предположим, такие числа \(n\) и \(n+1\) существуют. При переходе \(n → n+1\): - Если последняя цифра \(n\) не 9: сумма цифр увеличивается на 1 → противоречие, так как остатки по модулю 5 разные. - Если последняя цифра 9: происходит перенос разряда. Например, \(n = ...a9\), \(n+1 = ...(a+1)0\). Сумма цифр уменьшается на \(9k - 1\), где \(k\) — количество переносов. Разность сумм не кратна 5.
   Ответ: Не существует.
   
   
4. С числами разрешается выполнять две операции: умножать на 2 или произвольно переставлять цифры (нельзя ставить 0 на первое место). Можно ли из 1 получить 100?
   Решение: Число 100 содержит два нуля. Чтобы получить ноль, необходимо умножение на 2 числа, оканчивающегося на 5 (5·2=10), но из 1 получить 5 невозможно без перестановок. Проверяя возможные последовательности:
   1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → ... Ни одна перестановка не даёт числа с двумя нулями.
   Ответ: Нет.
   
   
5. Тюрьма состоит из 30 камер, расположенных в прямоугольнике \(3 \times 10\). В каждой камере сидит по одному заключённому — рыцарю или лжецу. Каждый заявил: «Во всех соседних со мной камерах сидят лжецы». Какое наибольшее количество лжецов может быть, если рыцари всегда говорят правду, а лжецы — всегда лгут?
   Решение: Рыцарь утверждает, что все соседи — лжецы. Лжец лжёт → хотя бы один сосед — рыцарь. Максимизация лжецов требует минимального числа рыцарей. Расположим рыцарей в шахматном порядке через две камеры в каждом ряду:
   
   В такой конфигурации 6 рыцарей (3 в первом ряду, 3 в третьем). Тогда лжецов: \(30 - 6 = 24\).
   Ответ: 24.