Школа №57 из 4 в 5 класс 2015 год Вариант 2-1

ШКОЛА №57

2015 год

Вариант 1

1. Деревянный куб покрасили снаружи зелёной краской, а потом распилили на одинаковые маленькие кубики, длина ребра которых в 8 раз меньше, чем у исходного куба. У скольких из получившихся кубиков окрашено ровно две грани?
   
   
2. Из числа \(12345678910111213141516171819202122232425\) вычеркните 30 цифр таким образом, чтобы полученное число было наибольшим возможным. Ответ обоснуйте.
   
   
3. Существует ли два последовательных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?
   
   
4. С числами разрешается выполнять две следующие операции: умножать на 2 или произвольным образом переставлять цифры (но нельзя ставить 0 на первое место). Можно ли из 1 получить 112?
   
   
5. Тюрьма состоит из 33 камер, расположенных в клетках прямоугольника \(3 \times 11\). В каждой камере находится по одному заключённому — рыцарю или лжецу. Каждый заявил: «Во всех соседних со мной камерах сидят лжецы». Какое наибольшее количество лжецов может быть среди них, если рыцари всегда говорят правду, а лжецы — всегда лгут? (Камеры считаются соседними по стороне и по вершине.)

Решения задач

1. Деревянный куб покрасили снаружи зелёной краской, а потом распилили на одинаковые маленькие кубики, длина ребра которых в 8 раз меньше, чем у исходного куба. У скольких из получившихся кубиков окрашено ровно две грани?
   Решение: Исходный куб при распиле на кубики с ребром в 8 раз меньшим даёт $8 \times 8 \times 8 = 512$ кубиков. Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах исходного куба, исключая угловые. На каждом ребре длиной 8 кубиков таких кубиков будет $8 - 2 = 6$. Всего рёбер у куба — 12. Следовательно, количество кубиков с двумя окрашенными гранями:
   $12 \times 6 = 72$.
   Ответ: 72.
   
   
2. Из числа \(12345678910111213141516171819202122232425\) вычеркните 30 цифр таким образом, чтобы полученное число было наибольшим возможным. Ответ обоснуйте.
   Решение: Для получения максимального числа необходимо сохранить старшие цифры. Исходное число содержит 41 цифру, требуется оставить 11. Алгоритм:
   • Выбираем первую цифру — максимальную среди первых 31 цифры (9 на позиции 9).
   • Далее выбираем следующую максимальную цифру из оставшихся с учётом длины. После выбора 9 остаётся последовательность "10111213141516171819202122232425". Следующая максимальная цифра — 9 (в "19"), затем 8 (в "18"), 7 (в "17") и т.д.
   Полученное число: 99817263524.
   Ответ: 99817263524.
   
   
3. Существует ли два последовательных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?
   Решение: Рассмотрим числа 69999 и 70000:
   • Сумма цифр 69999: \(6 + 9 + 9 + 9 + 9 = 42\) (делится на 7).
   • Сумма цифр 70000: \(7 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7\) (делится на 7).
   Такие числа существуют.
   Ответ: Да, существуют.
   
   
4. С числами разрешается выполнять две следующие операции: умножать на 2 или произвольным образом переставлять цифры (но нельзя ставить 0 на первое место). Можно ли из 1 получить 112?
   Решение: Число 112 содержит нечётную цифру 1 в старшем разряде. Все операции умножения на 2 дают чётные числа. Перестановки чётных чисел не могут создать нечётное число в старшем разряде без нарушения запрета на ведущий ноль. Следовательно, получить 112 невозможно.
   Ответ: Нет, нельзя.
   
   
5. Тюрьма состоит из 33 камер, расположенных в клетках прямоугольника \(3 \times 11\). В каждой камере находится по одному заключённому — рыцарю или лжецу. Каждый заявил: «Во всех соседних со мной камерах сидят лжецы». Какое наибольшее количество лжецов может быть среди них, если рыцари всегда говорят правду, а лжецы — всегда лгут? (Камеры считаются соседними по стороне и по вершине.)
   Решение: Для максимизации лжецов разместим рыцарей в среднем ряду в нечётных столбцах (1, 3, 5, 7, 9, 11). Каждый рыцарь обеспечивает, что все его соседи — лжецы, а лжецы имеют соседей-рыцарей. Всего рыцарей — 6, лжецов — 27.
   Ответ: 27.